Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 3

[Caro - V3]

Los enteros positivos [math]a,b,c son menores que 99 y satisfacen [math]a^2+b^2=c^2+99^2. Hallar el mínimo y el máximo valor de [math]a+b+c.

[Vladislao]

Me voy a arriesgar, este problema es uno de los que más me llamó la atención, y nunca vi una solución con métodos olímpicos...

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Para el mínimo:

Ante todo, y sin pérdida de generalidad, pongamos [math]a \geq b. No es difícil ver que [math]b > c, y además, se tiene que [math]a \geq 71.

Es claro que si tomamos un valor de [math]a cercano a [math]99, el valor mínimo de la suma [math]a+b+c se dará en el caso en que [math]b y [math]c sean cercanos y lo más pequeño posible.

Si ponemos [math]a=98, sigue que [math]b^2-c^2 = 197 \Rightarrow (b+c)(b-c)=197 y como [math]197 es primo se tiene que [math]b-c=1 y [math]b+c=197 lo que arroja [math]b=99, absurdo.

Si ponemos [math]a=97, sigue que [math]b^2-c^2=392 \Rightarrow (b+c)(b-c)=2^3\cdot 7^2. Como queremos el mínimo [math]b+c posible, tomamos menor divisor mayor que [math]\sqrt{392}. En este caso es [math]28. Entonces [math]b+c=28 y [math]b-c=\dfrac{392}{28}=14, entonces [math]b=21 y [math]c=7.

Entonces se tiene que [math]a+b+c=97+21+7=125.

Ahora consideremos que existe una terna [math]a+b+c < 125. Entonces no puede suceder que [math]b \geq 124-a. Razonaremos en pos de llegar a un absurdo. Pongamos [math]b < 124-a.

Entonces, se tiene que [math]a^2+(124-a)^2 > 99^2+c^2, es decir que [math]2a^2+124^2-248a > 99^2+c^2, y esto lleva a que:

[math]2a^2-248a+5575 > c^2 \geq 1

Resolviendo la desigualdad para [math]a se tiene que [math]a \geq 62 + \sqrt{1057} \approx 94.51, es decir que [math]a \geq 95.

Pero nos restaría probar entonces los casos [math]a = 95, 96, que son fácilmente descartados, por lo que llegamos a un absurdo, y el mínimo de [math]a+b+c es efectivamente [math]125.

Tengo una idea para el máximo, pero me haría falta pulirla un poco...

[Ivan]

Es claro que si tomamos un valor de [math]a cercano a [math]99, el valor mínimo de la suma [math]a+b+c se dará en el caso en que [math]b y [math]c sean cercanos y lo más pequeño posible.

Eso no es algo formal, igual no veo donde lo usás.

Como queremos el mínimo [math]b+c posible, tomamos menor divisor mayor que [math]\sqrt{392}.

Acá deberías explicar por qué eso anda (no es tan obvio).

Cuando descartas casos sería bueno que aclares por qué, por ejemplo cuando decis [math]a \geq 62 + \sqrt{1057} estás usando que [math]a es positivo al descartar las soluciones negativas.

Acá lo mismo

restaría probar entonces los casos a = 95, 96, que son fácilmente descartados

, no parece algo obvio sin hacer la cuenta.

[Vladislao]

Está bien, por partes:

i) Fijo un valor de [math]a grande. El valor mínimo de [math]a+b+c (con respecto al [math]a que yo fijé), se da cuando [math]b+c son lo más chico posible. (No veo necesario formalizarlo demasiado, porque es bastante intuitivo). Lo uso para 'encontrar' un valor de [math]a+b+c mínimo sin que aparezca 'de la nada'. La justificación no es muy 'fuerte', sí... Pero me sirve para hallar un valor, y para poder después sí demostrar que es el mínimo

ii) Uso que dado un entero [math]m que sea producto de dos enteros no negativos [math]xy, uno de los factores o [math]x o [math]y es mayor que [math]\sqrt{m}. ¿La demostración? Supongamos que [math]x,y < \sqrt{m} \Rightarrow xy < m, absurdo, pues [math]m=xy.

Y no es que descarto la soluciones negativas, simplemente me remonto al hecho de que yo definí [math]a \geq b, (de todas formas, no entiendo esa refutación, porque el enunciado dice que [math]a,b,c>0) y esto me conduce a [math]a \geq 71. El porqué de ésto es sencillo: [math]a^2+b^2>99^2. Si [math]71 > a \geq b, entonces si tomo [math]a=b=70, me queda [math]2 \cdot 70^2 > 99^2 o lo que es lo mismo [math]9800 > 9801 que es claramente falso.

iii) Considerando [math]a=96 queda [math]b^2-c^2=585 \Rightarrow (b+c)(b-c)=5\cdot 3^2 \cdot 13, entonces, como [math]b+c > \sqrt{585}>24, por lo que dije más arriba, sigue que hay que encontrar el menor divisor de [math]585 que sea mayor que [math]24. Este divisor es [math]39, y entonces [math]a+b+c=96+39=135 que es claramente mayor a 125. Con el caso [math]a=95 pasa algo muuuuy parecido...

[math]a=95 \Rightarrow b^2-c^2=776 \Rightarrow (b+c)(b-c)=2^3\cdot 97. Como [math]b+c>\sqrt{776}>27, hay que encontrar el menor divisor de 776 mayor que [math]27... En este caso es [math]97, y entonces, si [math]b+c=97, pero esto implica que [math]b-c=8, y en este caso [math]b y [math]c no son enteros. Así que, entonces debería ser [math]b+c= 2\cdot 97 y [math]b-c=4, en tal caso tampoco hay soluciones (siguiendo conque [math]b \leq a), y en general, en este caso, no las hay.


Creo que conceptualmente no hay ningún 'error' en la solución, simplemente obvié algunos detalles que no hacían, en sí mismos, a la solución. De todas formas, si está mal, me gustaría que me dijeras en qué puntos.

Saludos.

[Ivan]

La solución con las cosas que aclaraste ahora está bien (pero eran pasos importantes, no eran obvios).
El punto i sigue siendo algo informal y no se entiende que querés decir (por ejemplo cuando decís "[math]a grande", no aclarás que significa). Igual como vos dijiste, no lo necesitás para la solución, así que no es un problema.

[pornprimes]

No se si lo habrán notado pero estoy aburrido. Así que les paso la solución de Bétum. El que tenga ganas que lo revise y que mejore la parte de texeado, porque está horrible. Quise que quede bien pero tiene tantas cuentas que es imposible por la estructura del parser, además de que hay cosas que no me deja hacer (como itemizar las cosas).
Espero les guste!

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Asumamos [math]a \geq b por simetría, entonces [math]0<c<b\leq a<99. También [math]2a^2 \geq a^2+b^2 > 99^2, entonces

[math]a\geq 71. Entonces [math]71\leq a\leq 98. Escribimos esta ecuación como [math](b+c)(b-c)=(99-a)(99+a).


Para el mínimo de [math]a+b+c, veamos [math]a=98 y [math]a=97 primero.

Si [math]a=98 entonces [math](b+c)(b-c)=197, y [math]197 es primo. Entonces [math]b+c=197, [math]a+b+c=295.

Si [math]a=97 entonces [math](b+c)(b-c) = 2\cdot 196 = 392 = 14\cdot 28, y [math]392 no tiene una representación de la forma [math]d_1d_2 con [math]d_1,d_2 entre 14 y 28.

La suma de enteros con un producto fijo es mínima cuando los factores son tan cercanos como sea posible, luego [math]b+c\geq 28 y [math]a+b+c\geq 97+28=125.

La igualdad se obtiene con [math]b+c=28,b-c=14 \rightarrow b=21,c=7, la tripla [math](97,21,7) es admisible.
Vamos a demostrar que 125 es el mínimo buscado.



Notemos que [math](b+c)(b-c)=(99-a)(99+a) \rightarrow b+c > \sqrt{99^2-a^2} y entonces [math]a+b+c>a+\sqrt{99^2-a^2}.
Entonces una condición suficiente para [math]a+b+c>125 es [math]a+\sqrt{99^2-a^2}>125. Esto es equivalente a [math]a^2-125a+2912<0.

La función cuadrática [math]f(t)=t^2-125t+2912 es creciente en [math][62\frac{1}{2},+\infty), y [math]f(94)<0, implicando [math]a+b+c>125 para [math]a\in [71,94].

Si [math]a=95 entonces [math](b+c)(b-c)=4\cdot 194. Como [math]b+c>b-c y ambos tienen distinta paridad, vemos que[math]b+c\geq 194>125.

Si [math]a=96 entonces [math](b+c)(b-c)=3\cdot 195=15\cdot 39, y los factores están tan cerca como es posible, luego [math]b+c\geq 39 y [math]a+b+c \geq 96+39 = 135 > 125.





Para el máximo de [math]a+b+c notemos primero que [math]a+b+c es impar.
Además [math]99-a<b-c<b+c<99+a, en vista de que [math]0<c<b\leq a<99 y [math](b+c)(b-c)=(99-a)(99+a). Además los cuatro números tienen la misma paridad, así que [math]b-c=(99-a)+2k con [math]k\geq 1 entero. Vamos a demostrar que el máximo se obtiene con [math]k=1 \rightarrow b-c=101-a.

Pongamos [math]x=b-c=101-a. Entonces [math]a=101-x, y uno puede expresar [math]a+b+c en términos de [math]x.

[math]a+b+c=a+\frac{(99-a)(99+a)}{b-c}=303-2(x+\frac{200}{x}).

Como [math]a+b+c es impar, [math]x+\frac{200}{x} es un entero. Entonces [math]x y [math]\frac{200}{x} son divisores de 200 con producto 200. Tenemos que minimizar su suma para que [math]a+b+c sea máximo. Una factorización [math]d_1d_2=200 es necesaria, con [math]d_1 y [math]d_2 tan cerca como sea posible, lo que nos lleva a [math]\{ x,\frac{200}{x}\} = \{ 10,20 \}. Entonces [math]a+b+c\leq 303-2(10+20)=243. El valor 243 es alcanzado por la tripla [math](91,81,71), que es admisible.

Si [math]b-c\neq 101-a entonces [math]b-c\geq (99-a)+4=103-a>0, y

[math]a+b+c=a+\frac{(99-a)(99+a)}{b-c} \leq a + \frac{(99-a)(99+a)}{103-a}.

Para completar la demostración alcanza con mostrar que [math]a + \frac{(99-a)(99+a)}{103-a} < 243 siempre que [math]a < 99. Usar la última desigualdad para alcanzar la forma equivalente [math]a^2-73a+7614<0. Lo último es para todo real [math]a ya que el trinomio [math]a^2-73a+7614 tiene un discriminante negativo. Q.E.D.