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FOFO ANIVERSARIO: 12 AÑOS

OMA Foros cumple 12 años y ya está en edad de comenzar a participar en segundo nivel Ñandú! Par eso, vamos a hacer nuevamente una edición de la/el FOFO para todos los olímpicos que transitan por la Olimpiada... Esperemos este FOFO se parte de ello!

¿Qué es el FOFO?
Es como un falso OFO (y OFO es la competencia online que hacemos durante el verano, también conocido como el falso FOFO).

¿Cuándo se llevará a cabo?
La competencia se llevará a cabo desde el Viernes 14 de Octubre a las 00:00 hs hasta el Lunes 17 de Octubre a las 23:59 hs.

¿Cómo me inscribo?
Comentando en este post "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es el sistema?
Cuando sea la competencia vamos a proponer una cierta cantidad de problemas. Estos problemas se van a publicar el Viernes 14 de Octubre a las 00:00 hs aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución). Tendrán tiempo para enviar soluciones hasta el Lunes 17 de Octubre a las 23:59 hs. Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Recomendamos fuertemente enviar soluciones escritas en $\LaTeX$. Pueden leer aquí como utilizarlo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista con los primeros puestos. Los participantes que obtengan mayor puntaje recibirán una medallita especial, y los demás que también tengan un buen desempeño recibirán una mención especial.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
No pueden participar ex-olímpicos. Es sólo para actuales participantes de olimpíadas.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ tales que$$f(a)f(a+b)-ab$$es un cuadrado perfecto para todos $a,b$ en $\mathbb{Z}^+$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el semiplano definido por $BC$ que contiene a $A$, tales que $BP$ y $CQ$ son tangentes a $\Gamma$ con $PB=BC=CQ$. Sean $K$ y $L$ puntos distintos de $A$ en la bisectriz externa del ángulo $\angle CAB$, tales que $BK=BA$ y $CL=CA$. Sea $M$ el punto de corte de las rectas $PK$ y $QL$. Demostrar que $MK=ML$.

Sea $n>2$ un entero positivo. Se tiene una fila horizontal de $n$ casillas donde cada casilla está pintada de azul o rojo. Decimos que un bloque es una secuencia de casillas consecutivas del mismo color. Arepito el cangrejo está inicialmente parado en la primera casilla, en el extremo izquierdo de la fila. En cada turno, él cuenta la cantidad $m$ de casillas pertenecientes al bloque más grande que contiene la casilla en la que está, y hace una de las siguientes acciones:

Si la casilla en la que está es azul y hay al menos $m$ casillas a la derecha de él, Arepito se mueve $m$ casillas hacia la derecha;
Si la casilla en la que está es roja y hay al menos $m$ casillas a la izquierda de él, Arepito se mueve $m$ casillas hacia la izquierda;
En cualquier otro caso, se queda en la misma casilla y no se mueve más.

Para cada $n$, determinar el menor entero $k$ para el que existe una coloración inicial de la fila con $k$ casillas azules para la que Arepito puede llegar a la última casillas, en el extremo derecho de la fila.

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:

$f(yf(x)) + f(x-1) = f(x)f(y)$ para todo $x,y$ en $\mathbb R$.
$|f(x)| < 2022$ para todo $x$ con $0 < x < 1$.

Sea $S=\{13,133,1333,\ldots \}$ el conjunto de los enteros positivos de la forma $1\overbrace{3\ldots 3}^{n\text{ dígitos}}$, con $n\geq 1$. Consideremos una fila horizontal de $2022$ casillas, inicialmente vacías. Ana y Borja juegan de la siguiente manera: cada uno, en su turno, escribe un dígito de $0$ a $9$ en la casilla vacía situada más a la izquierda. Empieza a jugar Ana; luego ambos jugadores se alternan hasta que todas las casillas están llenas. Cuando el juego termina, en la fila se lee, de izquierda a derecha, un número $N$ de $2022$ dígitos. Borja gana si $N$ es divisible por alguno de los números que están en $S$; en caso contrario gana Ana. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.

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