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Resultados COFFEE: "Ariel Zylber"

Finalmente ha llegado el momento tan esperado de entregar los premios de esta edición de la COFFEE.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están siendo publicadas las soluciones oficiales de todos los problemas de la COFFEE, en sus respectivos posts. Si tenés ganas de compartir lo que hiciste, o tenés dudas/preguntas, te invitamos a que publiques en el th [

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Con $40$ fósforos se forma una figura que es un cuadrado de lado $4$ dividido en $16$ cuadrados de lado $1$, donde cada fósforo está puesto sobre un lado de un cuadrado de lado $1$.
La figura tiene $16$ cuadrados de $1\times 1$, $9$ cuadrados de $2\times 2$, $4$ cuadrados de $3\times 3$ y $1$ cuadrado de $4\times 4$.
Determinar el mínimo número de fósforos que hay que quitar para que la figura resultante no tenga ningún cuadrado de ningún tamaño.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Dos puntos del plano se dicen que están unodostresados o que uno de ellos está unodostresado con el otro si la longitud del segmento que los une es una de las cantidades $\{1,2,3\}$. Determinar el mayor número posible de puntos en el plano que pueden existir con la propiedad de que cada punto esté unodostresado con todos los demás.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Se escriben los números en orden:
El $1$ una vez, el $2$ dos veces, el $3$ tres veces, $\ldots$, el $9$ nueve veces, el $10$ diez veces, $\ldots$, y así siguiendo.
¿Qué dígito está escrito en el lugar $2017$?
¿Cuántas veces aparece escrito el dígito $4$ en los primeros $2017$ lugares?
Link al tema.


  • Últimos temas

Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 8)


Sea $n$ un entero positivo y $a$ un número real. Hallar todas las $n$-uplas $\left (x_1,\ldots ,x_n\right )$ de números reales que satisfacen el sitema de ecuaciones$$\sum \limits _{i=1}^{n} x_{i}^{k}=a^{k}$$para $k=1,\ldots ,n$.

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 7)


Sea $M$ el conjunto de los puntos de coordenadas enteras del plano.
Para cada punto $P=\left ( x,y \right )\in M$ llamamos vecinos de $P$ a los puntos $\left ( x-1,y \right ),\left ( x+1,y \right ),\left ( x,y-1 \right ),\left ( x,y+1 \right )$.
Sea $S [

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 6)


Un paralelogramo está inscrito en un hexágono regular de modo tal que los centros de simetría de ambas figuras coinciden.

Demostrar que el área del paralelogramo es menor o igual que $\frac{2}{3}$ del área del hexágono.

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 5)


Probar que para cualquier entero $n\geq 2$, la máxima potencia de $3$ que divide a $n!$ es la misma que la máxima potencia de $3$ que divide a$$(1)(1+4)\ldots \left (1+4+\ldots +4^{n-1}\right )$$

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OMEO 2018 N3 P3


Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)=n+\lfloor \sqrt n \rfloor$. Demostrar que para todo entero positivo $m$, la sucesión $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \cdots$ contiene un cuadrado perfecto.

Nota: Para cualquier número real $x$, $\lfloor x [

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