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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Cada uno de veintidós conjuntos contiene cinco elementos. La intersección de cualesquiera dos de estos conjuntos contiene exactamente dos elementos. Demostrar que la intersección de todos estos conjuntos contiene exactamente dos elementos.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Consideramos un trapecio rectángulo $ABCD$ en el que $AB\parallel CD,AB>CD,AD\perp AB$ y $AD>CD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en $O$. La paralela a $AB$ por $O$ interseca a $AD$ en $E$ y $BE$ interseca a $CD$ en $F$. Demostrar que $CE\perp AF$ si y sólo si $AB\cdot CD=AD^2-CD^2$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Alma, Benito y Carla tienen en total $\$504$.
Alma le da $\$5$ a Benito. Luego Benito le da un tercio de lo que tenía a Alma y un cuarto de lo que le queda a Carla.
Ahora Alma tiene el doble que Benito y Carla tiene el triple que Benito.
¿Cuántos pesos tenía cada uno inicialmente?
Link al tema.


  • Últimos temas

Distribución de edificios en un anillo


Hola,



Necesito distribuir 2700 edificios en un proyecto, sobre una base circular. El radio del anillo central es de 2000 metros.



Cada edificio tiene un largo de 50 metros y un ancho de 20 metros. Además todos los edificios se separan del resto 20 metros.



No sé el radio del anillo,

No sé cómo distribuir los edificios para que todos los edificios cubran sin huecos todo el área del círculo del anillo.



Lo he intentado de la siguiente manera.



Si cada edificio tiene un largo de 50 metros y se separa del resto 20 metros por un lado tendría 50 +10+10 lo que coparía un edificio. Si pongo 3 edificios en línea sería 70 x 3= 210 metros. Creo que este sería el radio del anillo pero no lo sé.



Si son columnas de 3 edificios son 2700 edificios dividido entre 3= 900 columnas.



Cada columna mide 20 +10+10= 40. 40 x 900 = 36000 metros que sería la longitud de la circunferencia pero tampoco sé si está bien.



¿Alguien puede ayudarme?



Gracias

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Cono 2022 P6


En el pizarrón están escritos los números enteros $1,2,3,\ldots ,170$. Se desea colorear cada número con uno de los $k$ colores $C_1,C_2,\ldots ,C_k$, de modo que se cumpla la siguiente condición: para cada $i$ con $1\leq i<k$, la suma de todos los números de color $C_i$ divide a la suma de todos los números de color $C_{i+1}$. Determinar el máximo valor de $k$ para el cual es posible realizar esta coloración.

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Cono 2022 P5


Un número entero $n>1$, cuyos divisores positivos son $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$, es sureño si todos los números$$d_2-d_1,d_3-d_2,\ldots ,d_k-d_{k-1}$$son divisores de $n$.
  1. Encuentre un entero positivo que no sea sureño y tenga exactamente $2022$ divisores positivos que son sureños.
  2. Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no son sureños y tienen exactamente $2022$ divisores positivos que son sureños.

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Cono 2022 P4


Ana y Beto juegan en un tablero cuadriculado de $2022\times 2022$ casillas. Ana colorea de rojo los lados de algunas casillas en el tablero, de modo que ninguna casilla tenga dos lados rojos que comparten un vértice. A continuación, Beto debe colorear un camino azul que una dos de las cuatro esquinas del tablero, siguiendo los lados de las casillas y sin usar ningún segmento rojo. Si Beto lo logra es el ganador, en caso contrario gana Ana. ¿Quién tiene estrategia ganadora?

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Cono 2022 P3


Demuestre que para todo entero positivo $n$, existe un entero positivo $k$, de modo que cada uno de los números $k,k^2,\ldots ,k^n$ tenga al menos un bloque $2022$ en su representación decimal.

Por ejemplo, los números $4\textbf{2022}13$ y $544\textbf{2022}1\textbf{2022}$ tienen al menos un bloque $2022$ en su representación decimal.

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