OMA Foros

Problema del día de OMA:
Hallar todas las parejas $(a,b)$ de números enteros positivos tales que $a^3$ es múltiplo de $b^2$ y $b-1$ es múltiplo de $a-1$.
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Problema del día de Geometría:
Se tiene un cuadrilátero circunscrito $ABCD$ de incentro $I$ tal que su circunferencia inscrita es tangente a los lados $AD$, $DC$, $CB$, $BA$ en $K$, $L$, $M$, $N$. Las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $E$ y las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $F$. La recta $KM$ corta a $AB$ y $CD$ en $X$ e $Y$ respectivamente. La recta $LN$ corta a $AD$ y $BC$ en $Z$ y $T$ respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $XFY$ y la circunferencia de diámetro $EI$ son tangentes si y sólo si la circunferencia circunscrita del triángulo $TEZ$ y la circunferencia de diámetro $FI$ son tangentes.
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Problema del día de Ñandú:
En un tablero de $4\times 4$, Pablo quiere colocar una ficha roja y una ficha azul de modo que:

• En una casilla no puede haber más de una ficha

• Las fichas no pueden estar en casillas que tienen un lado o un vértice en común.

¿De cuántas maneras distintas puede colocar las $2$ fichas en el tablero? Explica cómo las contaste.$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline & & & \\
\hline & & & \\
\hline & & & \\
\hline
\end{array}$$
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