• @omaforos
Ahora podés seguir a OMA Foros en Facebook, Instagram, Twitter y YouTube!

  • Anuncios Globales

Ver último mensaje sin leer Resultados OFO 2024


Resultados OFO 2024

Finalmente ha llegado el momento tan esperado de entregar las medallas y los premios de esta edición del OFO.

En primer lugar queríamos agradecer a toda la gente que con su trabajo hizo posible que esta competencia sea nuevamente un éxito, participando del proceso de selección de los problemas y la posterior calificación de las más de 600 soluciones presentadas. Muchas gracias a 1000i, Adriano Guinart, BrunZo, FabriATK, Fedex, fedoxcrov, Fran5, Gianni De Rico, Joacoini, Martín Lupin, Monazo, NicoRicci, Sandy, Uli Pereira y Uriel J. También agradecemos a Ivan por el fundamental apoyo de todos los años. ¡Muchas gracias!

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están publicadas las soluciones oficiales de algunos de los problemas del OFO, en sus respectivos posts; las restantes aparecerán pronto. Si tenés ganas de compartir lo que hiciste, o tenés dudas/preguntas, te invitamos a que publiques en el thread del problema.

Por otro lado, ya hemos comenzado a enviar por mensaje privado las devoluciones de cada uno de los problemas que mandaste. En la misma, te indicamos el puntaje que obtuviste y te hacemos comentarios al respecto. Si no te queda clara alguna devolución, respondé el mensaje privado y preguntanos. Si todavía no te llegó la devolución de un problema, no te preocupes, en el transcurso de estos días te va a llegar: tu problema fue corregido con certeza.

En breve se les van a otorgar las Medallas. Las mismas aparecerán debajo de su nombre de usuario y en su perfil, dentro del foro.

Este año decidimos compartirles algunas estadísticas sobre los resultados finales. En la siguiente tabla verán, para cada uno de los 16 problemas, el puntaje promedio obtenido por todas las personas que participaron y el porcentaje de ellas que obtuvieron los 7 puntos en ese problema.


\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Problema} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline
\text{Promedio} & 6.05 & 5.61 & 4.95 & 4.92 & 2.72 & 3.22 & 2.86 & 2.39 & 2.68 & 1.22 & 1.34 & 0.52 & 0.26 & 0.33 & 0.36 & 0.38 \\ \hline
\text{% con 7 puntos} & 76.5 & 69.4 & 65.9 & 41.2 & 37.6 & 34.1 & 21.2 & 22.4 & 24.7 & 12.9 & 11.8 & 7.1 & 3.5 & 4.7 & 4.7 & 4.7 \\ \hline
\end{array}


Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. Hay básicamente 5 tipos de premio:
  • Medalla de Oro: la reciben quienes hayan obtenido un puntaje mayor o igual a 73 puntos.
  • Medalla de Plata: la reciben quienes hayan obtenido un puntaje mayor o igual a 62 puntos y menor a 73 puntos.
  • Medalla de Bronce: la reciben quienes hayan obtenido un puntaje mayor o igual a 35 puntos y menor a 62 puntos.
  • Mención: la reciben quienes hayan obtenido un puntaje menor a 35 puntos y tengan el puntaje máximo (7 puntos) en algún problema.
y un quinto tipo que son los "Premios Especiales", los cuales en total son 14.
Estos premios especiales tienen nombres en homenaje a varias personas que sentimos que han sido importantes en la historia de la OMA.
  • Premio Matilde Lalín: Se otorga a quienes obtuvieron 7 puntos en cada uno de los cuatro problemas de Álgebra (los problemas 2, 7, 9 y 13).
  • Premio Matías Saucedo: Se otorga a quienes obtuvieron 7 puntos en cada uno de los cuatro problemas de Combinatoria (los problemas 1, 8, 10 y 15).
  • Premio Lucas Andisco: Se otorga a quienes obtuvieron 7 puntos en cada uno de los cuatro problemas de Geometría (los problemas 3, 5, 12 y 14).
  • Premio Carlos Di Fiore: Se otorga a quienes obtuvieron 7 puntos en cada uno de los cuatro problemas de Teoría de Números (los problemas 4, 6, 11 y 16).
  • Premio Lucas Rearte: Se otorga a la persona que obtuvo 7 puntos en cada uno de los 16 problemas.
  • Premio Ariel Zylber: Se otorga a quienes obtuvieron puntajes no nulos en cada uno de los 16 problemas.
  • Premio Gastón Salgado: Se otorga a la persona que obtuvo el mayor puntaje dentro de quienes hayan nacido a partir del 1/1/2008 y no hayan ganado este premio con anterioridad.
  • Premio Laura Bolognini: Se otorga a la persona que obtuvo el mayor puntaje dentro de quienes hayan nacido a partir del 1/1/2009 y no hayan ganado este premio ni el premio Gastón Salgado con anterioridad (incluyendo esta edición).
  • Premio Gabriel Estrany: Se otorga a la ex-olímpica o el ex-olímpico que obtuvo el mayor puntaje y no haya ganado este premio con anterioridad.
  • Premio Beto: Se otorga a la persona de nacionalidad no argentina que obtuvo el mayor puntaje y no haya ganado este premio con anterioridad.
  • Premio Germán Gieczewski: Se otorga a la persona que obtuvo el mayor puntaje dentro de aquellas que se hayan registrado en el foro en 2024.
  • Premio Germán Stefanich: Se otorga a quienes obtuvieron 7 puntos en al menos un problema de cada área (Álgebra, Combinatoria, Geometría y Teoría de Números) y no obtuvieron medalla de oro.
  • Premio Leopoldo Taravilse: Se otorga a la persona que envió la primera solución correcta del OFO.
  • Premio Federico Cogorno: Se otorga a la persona que obtuvo el mayor puntaje entre las que no recibieron medalla ni mención.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!
Spoiler: mostrar
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Puntaje} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{Felibauk} & \text{112} & \text{Oro Perfecto} \\ \hline
\text{2} & \text{enigma1234} & \text{111} & \text{Medalla de Oro} \\ \hline
\text{3} & \text{El gran Filipikachu;} & \text{99} & \text{Medalla de Oro} \\ \hline
\text{4} & \text{EmRuzak} & \text{83} & \text{Medalla de Oro} \\ \hline
\text{5} & \text{Majamar} & \text{76} & \text{Medalla de Oro} \\ \hline
\text{6} & \text{Brimix} & \text{73} & \text{Medalla de Oro} \\ \hline
\text{6} & \text{sebach} & \text{73} & \text{Medalla de Oro} \\ \hline
\text{8} & \text{jazzzg} & \text{71} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{9} & \text{Juan Ichazo} & \text{70} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{9} & \text{Zplays} & \text{70} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{11} & \text{Emiliano Sosa} & \text{69} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{11} & \text{Gregorio} & \text{69} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{11} & \text{Ignacio Daniele} & \text{69} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{11} & \text{Kechi} & \text{69} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{11} & \text{Lean} & \text{69} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{16} & \text{Bubbletea_enjoyer} & \text{66} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{17} & \text{Tob.Rod} & \text{65} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{18} & \text{lola.m} & \text{64} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{18} & \text{MathIQ} & \text{64} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{20} & \text{alexgsi} & \text{63} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{21} & \text{IPM-Tomas-Chame} & \text{62} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{21} &\text{MartuPc} & \text{62} & \text{Medalla de Plata} \\ \hline
\text{23} & \text{4lbahaca} & \text{61} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{24} & \text{6174} & \text{60} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{24} & \text{BR1} & \text{60} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{26} & \text{drynshock} & \text{57} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{26} & \text{Fedee} & \text{57} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{28} & \text{TitanDelSur} & \text{55} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{29} & \text{flrosa06} & \text{54} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{30} & \text{Darth Vader} & \text{52} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{30} & \text{nitsuga} & \text{52} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{32} & \text{marcoalonzo} & \text{47} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{33} & \text{Leo Sokei} & \text{45} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{34} & \text{Micaaa} & \text{42} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{35} & \text{valemelzer} & \text{41} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{36} & \text{Andrés Di Fiore} & \text{40} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{37} & \text{MartínB} & \text{39} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{37} & \text{rayo5555} & \text{39} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{39} & \text{brunecesare012020} & \text{38} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{39} & \text{Detergente24} & \text{38} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{41} & \text{Luxcas213} & \text{36} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{42} & \text{AntonioSB} & \text{35} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{42} & \text{Calamardo} & \text{35} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\text{42} & \text{Meli.} & \text{35} & \text{Medalla de Bronce} \\ \hline
\end{array}


Menciones:
  • aguslanzi
  • AlonsoLIF
  • ArachnidGoddess
  • ArmandoValenzuela
  • Brandon Camargo
  • diego.pzz
  • Emaa
  • Facundo Correa
  • FelipeGigena
  • Haxorus
  • IvaMed
  • ivi333
  • Josee._.
  • juandodyk
  • Lautaro
  • log_{6} 216^{ana}
  • magnus
  • Martina_ciz
  • martinm
  • Mati0811
  • MatiasLarsenSandoval
  • matig
  • Naranjita
  • pauuuu.cor
  • riquelme10xd
  • rogermont_1
  • saghe
  • santip
  • Sora
  • star_zhz
  • Tiziano Brunelli
  • TobiG
  • Ulis7s
  • Valxx.cl
  • vgabrieludis
Ganadores del Premio Matilde Lalín:
  • enigma1234
  • Felibauk
Ganadores del Premio Matías Saucedo:
  • El gran Filipikachu;
  • enigma1234
  • Felibauk
Ganadores del Premio Lucas Andisco:
  • El gran Filipikachu;
  • enigma1234
  • Felibauk
Ganadores del Premio Carlos Di Fiore:
  • Felibauk
  • Majamar
Ganador del Premio Lucas Rearte:
  • Felibauk
Ganadores del Premio Ariel Zylber:
  • enigma1234
  • Felibauk
Ganadora del Premio Gastón Salgado:
  • jazzzg
Ganador del Premio Laura Bolognini:
  • BR1
Ganador del Premio Gabriel Estrany:
  • enigma1234
Ganador del Premio Beto:
  • Zplays
Ganador del Premio Germán Gieczewski:
  • Zplays
Ganadores y ganadoras del Premio Germán Stefanich:
  • 6174
  • 4lbahaca
  • alexgsi
  • Antonio SB
  • BR1
  • brunecesare012020
  • Bubbletea_enjoyer
  • Darth Vader
  • Emiliano Sosa
  • florsa06
  • Gregorio
  • Ignacio Daniele
  • IPM-Tomas-Chame
  • jazzzg
  • Juan Ichazo
  • Kechi
  • Lean
  • lola.m
  • marcoalonzo
  • MartinB
  • MartuPc
  • MathIQ
  • Meli.
  • Micaaa
  • nitsuga
  • rayo5555
  • TitanDelSur
  • Tob.Rod
  • Zplays
Ganador del Premio Leopoldo Taravilse:
  • Felibauk
Ganadora del Premio Federico Cogorno:
  • Maiteastiazaran
¡¡Muchas felicitaciones!!

Vistas: 256  •  Comentarios: 0  •  Publicar una respuesta [ Leer todo ]



  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Hallar un número de tres cifras $ABC$ tal que la cifra de las centenas es igual al doble de la cifra de las unidades, las tres cifras suman $15$, y si se le resta a $ABC$ el número formado al cambiar en $ABC$ las unidades con las centenas, $CBA$, se obtiene $396$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Un planeta esférico tiene su ecuador de longitud $1$. Se quieren construir $N$ vías circulares de longitud $1$ para que $N$ trenes circulen por ellas. Los trenes deben tener la misma velocidad (constante y positiva), y nunca deben detenerse o chocar entre ellos. Cada tren es un arco de ancho $0$ sin sus extremos.
Hallar la mayor suma posible de las longitudes de los trenes si
a) $N=3$.
b) $N=4$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En el rectángulo $ABCD$ las diagonales se cortan en el punto $O$ y $AB=2BC$.
El triángulo $ABO$ tiene $98cm^2$ de área.
¿Cuál es el perímetro del rectángulo $ABCD$?
InterÑandu2021-N3-P4.PNG

Link al tema.


  • Últimos temas

Otro problema con primos


Sea $p$ un número primo. Determine el número de ternas de enteros positivos $(a,b,p)$ que cumplen que$$a^3(b^2-p)=a^3+b^2-1.$$

Vistas: 78  •  Comentarios: 1  •  Escribir comentario [ Leer todo ]

Archivo de enunciados CONO SUR


Bueno, estoy preparando el archivo de enunciados de cono sur para que lo puedan imprimir. Faltan varios años de problemas que no aparecen en el archivo, voy a tratar de conseguirlos antes de publicar el pdf. Tampoco subí problemas que tengan imágenes, ya que no puedo adjuntar mas de 10 fotos por post.




Spoiler: mostrar
2023



Problema 1

Se tienen $400$ monedas en apariencia iguales, pero entre ellas hay $2$ falsas, una que es más pesada que las auténticas y otra que es más liviana que las auténticas. Mostrar de qué manera, utilizando cuatro o menos veces una balanza de dos platos, se puede determinar con certeza si el peso conjunto de las dos monedas falsas es mayor, es menor o es igual al peso conjunto de dos monedas auténticas.

Nota. La balanza de dos platos solo indica si los objetos colocados en el plato izquierdo pesan más, pesan menos o pesan igual que los colocados en el plato derecho.



Problema 2

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $A\widehat{B}C=B\widehat{C}D$. Las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $P$, y la recta paralela a $AB$, trazada por $P$, corta a la recta $BD$ en $T$. Demostrar que $A\widehat{C}B=P\widehat{C}T$.



Problema 3

Diremos que un número entero positivo es lindo si todos sus dígitos son distintos de cero y además tiene un dígito $b$ tal que si se suprime el dígito $b$ el número resultante (de un dígito menos) es divisor de $n$. Demostrar que solo hay una cantidad finita de números lindos.

Aclaración. $n=\overline{abc}$ donde $a$ y $c$ son números de uno o más dígitos y $b$ es un dígito.



Problema 4

Sea $n$ igual a la multiplicación de $k$ primos positivos distintos, $n=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k$, con $k>1$. Hallar todos los valores de $n$ para los cuales $n$ es simultáneamente múltiplo de $p_i-1$ para $i=1,2,\ldots,k$ (es decir, $n$ es múltiplo de los $k$ números $p_1-1$, $p_2-1$, ..., $p_k-1$).



Problema 5

Con imagen



Problema 6

Sea $p=(a_1,a_2,\ldots,a_{12})$ una permutación de los números $1,2,\ldots,12$. Definimos $S_p=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\ldots+|a_{11}-a_{12}|$, (por ejemplo, si $p=(5,4,3,2,1,6,12,11,10,9,8,7)$ entonces $S_p=1+1+1+1+5+6+1+1+1+1+1=20$).

Diremos que $p$ es optimista si para todo $i$, $i=2,3,\ldots,11$, se verifica que $a_i$ es mayor que el mínimo entre $a_{i-1}$ y $a_{i+1}$ (es decir, $a_2>\text{min}\{a_1,a_3\}$, $a_3>\text{min}\{a_2,a_4\}$, $a_4>\text{min}\{a_3,a_5\}$, ..., $a_{11}>\text{min}\{a_{10},a_{12}\}$).

a) Hallar el máximo valor posible de $S_p$ y determinar para cuántas permutaciones $p$ se alcanza ese máximo.

b) ¿Cuántas son las permutaciones optimistas?

c) Determinar el valor máximo de $S_p$ para una permutación optimista $p$. ¿Para cuántas permutaciones optimistas se logra ese máximo?





2022



Problema 1

Alan multiplicó dos números enteros que difieren en $9$. Felipe multiplicó dos números enteros que difieren en $6$. Los dos obtuvieron el mismo resultado, $M$. Determinar todos los posibles valores de $M$.



Problema 2

Sea $k$ un entero mayor que $1$. Hallar el menor entero positivo $n$ para el que en un tablero de $n\times n$ se pueden pintar de negro algunas casillas de modo tal que cada fila y cada columna contenga exactamente $k$ casillas negras y no haya dos casillas negras que tengan un lado o un vértice en común.



Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. La bisectriz del ángulo $B\widehat AC$ corta al lado $BC$ en $D$. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Demostrar que la recta que pasa por los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $ADM$ es paralela a la recta $AD$.



Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices. Su centro es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.



Problema 4

Un entero $n>10$ tiene entre sus divisores enteros positivos dos, $a$ y $b$, tales que $n=a^2+b$. Demostrar que existe por lo menos un número comprendido entre $a$ y $b$ que es divisor de $n$.



Problema 5

Se marcan en el plano $2022$ puntos azules, $A_1,A_2,\ldots ,A_{2022}$, y luego se marcan con rojo todos los puntos medios de los segmentos que tienen sus dos extremos azules. Determinar cuál es la menor cantidad posible de puntos rojos.



Problema 6

El hotel Interestelar tiene $100$ habitaciones todas con distinta cantidad de camas individuales; las cantidades de camas en las habitaciones son $101,102,103,\ldots ,200$. Las habitaciones están ocupadas por $n$ personas en total. Hoy llega un pasajero VIP y el dueño le quiere ofrecer una habitación para él solo. Con este propósito, el dueño del hotel quiere elegir dos habitaciones $A$ y $B$ y mudar a todos los ocupantes de $A$ a $B$ sin exceder la capacidad de la habitación $B$. Determinar el mayor valor de $n$ para el que el dueño puede estar seguro de que su objetivo se podrá cumplir cualquiera sea la distribución de los $n$ pasajeros en las $100$ habitaciones.





2019



Problema 1

Alex hace las $365$ divisiones de $365$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $365$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $365$ números de la lista. Luego Blas hace las $366$ divisiones de $366$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $366$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $366$ números de la lista. Determinar cuál de los dos obtuvo una suma mayor y cuánta es la diferencia entre las dos sumas.



Problema 2

Matías construye una lista de números enteros con la siguiente propiedad: para cada tres números de la lista hay dos de ellos que sumados dan por resultado una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Determinar la mayor cantidad de números que puede tener la lista de Matías.



Problema 3

Sean $ABC$ un triángulo e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. Sea $\Gamma$ la circunferencia con centro $I$ que es tangente a los tres lados del triángulo y sean $D$ en $BC$ y $E$ en $AC$ los puntos de tangencia de $\Gamma$ con $BC$ y $AC$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AI$ y $DE$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que $M$, $N$ y $P$ pertenecen a una recta.



Problema 4

Imagen



Problema 5

Sea $ABCD$ un paralelogramo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ con el ángulo en $A$ agudo. Consideramos el punto $E$ en el interior del paralelogramo tal que $AE=DE$ y $A\widehat BE=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Determinar la medida del ángulo $D\widehat ME$.



Problema 6

Ana y Beto juegan, por turnos, al siguiente juego. Inicialmente hay una pila con $n$ piedras. Cada jugador, en su turno, debe retirar un número de piedras mayor que $1$, que sea divisor del número total de piedras en la pila en el momento que le toca el turno, pero debe dejar por lo menos una piedra en la pila. El primer jugador que no puede realizar su jugada, pierde el juego. Ana juega en el primer turno. Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que Ana puede desarrollar una estrategia que le asegure la victoria.





2018



Problema 1

Los números naturales $k$ y $N$ satisfacen la siguiente condición: la multiplicación de todos los números naturales desde $N$ hasta $N+k$ es igual a $6952862280$, es decir$$N\times (N+1)\times \cdots \times (N+k)=6952862280$$Hallar todos los posibles valores de $k$ y $N$, sabiendo que el último dígito de $N$ es $1$.



Problema 2

Hallar todos los números enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los números del $1$ al $n$, $1,2,\ldots ,n$ se pueden dividir en tres subconjuntos no vacíos con diferentes cantidades de números tales que para toda pareja de subconjuntos, el conjunto con menos elementos tenga suma más grande que el subconjunto con más elementos.



Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo y sean $K$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. En los segmentos $AM$ y $BK$, se construyen triángulos equiláteros $AMN$ y $BKL$, ambos exteriores al triángulo $ABC$. Sea $F$ el punto medio del segmento $LN$. Determinar el valor del ángulo $K\widehat FM$.



Problema 4

Sea $ABCDE$ un pentágono regular con centro $M$. Se elige un punto $P$ en el interior del segmento $MD$. La circunferencia que pasa por los puntos $A$, $B$ y $P$ corta al segmento $AE$ en $A$ y en $Q$ y corta a la recta perpendicular a $CD$ que pasa por $P$ en $P$ y en $R$. Demostrar que $AR$ y $QR$ tienen la misma longitud.



Problema 5

En el pizarrón están escritos $n$ números enteros positivos ($n>1$). En cada paso se agrega al pizarrón un nuevo número que es igual a la suma de los cuadrados de todos los números ya escritos. (Por ejemplo: si inicialmente los números son $1$, $2$, $2$, entonces en el primer paso se agrega el número $1^2+2^2+2^2$.) Demostrar que el número que se agrega en el paso $100$ tiene al menos $100$ divisores primos diferentes.



Problema 6

Alex y Blas juegan a un juego. Comienza Alex. Cada uno en su turno elige un número entero entre $1$ y $100$, que no haya sido elegido por ninguno de ellos en las jugadas anteriores. Un jugador pierde si después de su turno, la suma de todos los enteros elegidos por ambos jugadores desde el comienzo del juego, no se puede escribir como la diferencia de los cuadrados de dos enteros. Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y dar dicha estrategia.





2017



Problema 1

En una clase hay $23$ estudiantes. Durante el $2016$, cada estudiante celebró su cumpleaños con por lo menos uno de sus compañeros como invitado, pero no con todos. Para cada dos estudiantes, contamos la cantidad de tales fiestas en las que los dos participaron (cumpliendo años o como invitado). Determinar si es posible que esas cantidades sean iguales para todos los pares de estudiantes de la clase.



Problema 2

En cada casilla de un tablero de $m\times{n}$ hay una lamparita. Al comienzo todas las lamparitas estan apagadas. En cada paso esta permitido considerar tres casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna y cambiar el estado de sus tres lamparitas (encender las apagadas y apagar las encendidas). Determinar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ para los que es posible llegar, mediante estos pasos a un tablero con todas las lamparitas encendidas.



Problema 3

En una circunferencia de diámetro $AB$ se elige un punto $M$. En la misma circunferencia sea $X$ tal que la intersección de $MX$ y $AB$ es el punto $Y$, con $M\hat{Y}B<90^{\circ}$. La cuerda perpendicular a $AB$ que pasa por $Y$ corta a $BX$ en $P$. Demostrar que al variar $X$ el punto $P$ pertenece siempre a una misma recta



Problema 4

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AC=20$ y $AD=16$. Sea $P$ en el segmento $CD$ tal que los triángulos $ABP$ y $ACD$ son congruentes. Si el área del triangulo $APD$ es $28$, calcular el valor del área del triangulo $BCP$. (Dos triángulos son congruentes si sus lados son respectivamente iguales.)



Problema 5

Se tiene un tablero de $2016$ filas y $2017$ columnas. Determinar si es posible quitar dos casillas de la ultima columna del tablero de modo que el tablero así obtenido se pueda cubrir, sin huecos ni superposiciones y sin salirse del tablero, exclusivamente con piezas como las de la figura. (Esta permitido girar las piezas.)
$\begin{array}{c|c|c} \cline{2-2}

\; & \; & \; \\ \hline

\multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline

\; & \; & \; \\ \cline{2-2}

\end{array}

\qquad

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}

\hline \; & \; & \; & \; & \; \\ \hline

\end{array}$


Problema 6

Hallar todos los pares $(p,n)$ con $p$ primo y $n$ entero positivo que satisfacen la ecuación$$p^3-2p^2+p+1=3^n.$$





2016



Problema 1

Decidir si es posible escribir números reales en las casillas de un tablero de $7 \times 7$ tales que la multiplicación de los $9$ números en cada cuadrado de $3 \times 3$ sea igual a la multiplicación de los $16$ números en cada cuadrado de $4 \times 4$, y además la multiplicación de los $49$ números del tablero sea igual a $2016$.



Problema 2

Hallar todos los números naturales $n$ mayores que $1$ tales que $\frac{1}{n}$ y $\frac{1}{n+1}$ puedan ambos expresarse como números decimales con una cantidad finita de cifras.



Problema 3

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene sus tres vértices en una circunferencia $\Omega$. Sea $G$ el punto de intersección de las medianas del triángulo $ABC$ y sea $AH$ una altura de este triángulo. La semirrecta $GH$ corta a $\Omega$ en $A'$. Demostrar que la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $A'HB$ es tangente a la recta $AB$.



Problema 4

Diremos que un número entero positivo es bueno si sus tres dígitos finales son $133$. Demostrar que todo número bueno tiene un divisor primo mayor que $7$.



Problema 5

Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat{A}C<90^{\circ}$ (o sea, este ángulo es agudo). Las perpendiculares trazadas por $C$ a $AB$ y por $B$ a $AC$ cortan nuevamente a la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $ABC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Si $DE=BC$, calcular la medida del ángulo $B\widehat{A}C$.



Problema 6

¿Es posible colorear cada casilla de un tablero de $9\times 9$ con blanco y negro de modo que cada bloque de $2\times 3$ o de $3\times 2$ contenga exactamente $2$ casillas negras? Si la respuesta es afirmativa, determinar las posibles cantidades totales de casillas negras en el tablero.





2015



Problema 1

Imagen



Problema 2

Se tienen $111$ enteros positivos distintos menores o iguales que $500$. Determinar si es posible que para cada uno de estos números el último dígito (de la derecha) coincida con el último dígito de la suma de todos los demás $110$ números.



Problema 3

Para cada número natural $n$ denotamos $g(n)$ al mayor divisor impar de $n$. Calcular la suma de $2^{2015}$ términos$$g(1)+g(2)+g(3)+\ldots +g\left (2^{2015}\right ).$$



Problema 4

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ sea $H$ el punto de intersección de las alturas $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AH$, respectivamente. Demostrar que $MN$ es la mediatriz del segmento $B_1C_1$.



Aclaración: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, trazada por su punto medio.



Problema 5

Hallar todos los pares de primos $p,q$ tales que $p+q$ y $p+4q$ son los dos cuadrados perfectos.



Problema 6

Sea $n\geq 6$ un número entero. Tenemos a nuestra disposición $n$ colores. Coloreamos cada casilla de un tablero de $n\times n$ con uno de los $n$ colores.

a) Demostrar que, para cualquiera de estas coloraciones, existe un camino de un caballo de ajedrez desde la casilla del extremo inferior izquierdo hasta la casilla del extremo superior derecho que no pasa por todos los colores.

b) Demostrar que si reducimos el número de colores a $\left \lfloor \frac{2n}{3}\right \rfloor +2$, entonces la afirmación de a) es verdadera para infinitos valores de $n$ y es falsa también para infinitos valores de $n$.



Aclaraciones: En cada paso, el caballo une las casillas opuestas de un rectángulo de $2\times 3$ (o de $3\times 2$).

$\lfloor x\rfloor$ indica la parte entera del número $x$.





2014



Problema 1

En el pizarrón está escrito un número entero positivo $N$. En cada paso le borramos el último dígito $c$ y denominamos $m$ al número que nos queda, y a continuación, borramos $m$ y escribimos en el pizarrón $|m-3c|$ (por ejemplo, si tenemos escrito $N = 1204$, al cabo de un paso lo reemplazamos por $120 - 3.4 = 108$). Repetimos el procedimiento hasta que el número del pizarrón tenga un solo dígito. Hallar todos los enteros positivos $N$ tales que al cabo de una cantidad finita de pasos el número de un dígito que se obtiene es el $0$.



Problema 2

En las casillas de un tablero de $3\times 3$ se escriben los números enteros de $1$ a $9$ inclusive, sin repeticiones. La operación permitida es elegir una fila o una columna del tablero y reemplazar los números escritos $a,b,c$ o bien por los tres números no negativos $a-x,b-x,c+x$ o bien por los tres números no negativos $a+x,b-x,c-x$, donde $x$ es un número real positivo y puede variar en cada operación



$a)$ Determinar si existe una serie de operaciones tal que a partir de los números iniciales del siguiente tablero se puede lograr que los números de las $9$ casillas sean iguales.$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline

1 & 2 & 3 \\ \hline

4 & 5 & 6 \\ \hline

7 & 8 & 9 \\ \hline

\end{array}$$$b)$ Para las configuraciones tales que se puede lograr con las operaciones permitidas que los $9$ números sean iguales, determinar el máximo valor que puede tomar el número que finalmente se repite en las $9$ casillas.



Problema 3

En un pentágono convexo se trazan todas sus diagonales y queda dividido en un pentágono pequeño y $10$ triángulos. Hallar el máximo número de triángulos de igual área que puede haber en la división.



Problema 4

Hallar todos los pares $(p,q)$ de números primos positivos $p$ y $q$ que satisfacen la igualdad $$p^5+p^3+2=q^2-q$$



Problema 5

En un triángulo acutángulo $ABC$ sea $D$ en el segmento $BC$ tal que $AD$ es la bisectriz del ángulo $B\widehat{A}C$. La perpendicular a $AD$ trazada por $B$ corta a la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $D$ en $B$ y $E$. Sea $O$ el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $ABC$. Demostrar que $E$, $O$ y $A$ son colineales.



Problema 6

Se tienen $120$ bolsas, cada una con $100$ monedas. Todas las bolsas contienen monedas de $10$ gramos, excepto una bolsa que tiene todas sus monedas de $9$ gramos. Se dispone de una balanza que puede mostrar el peso de cualquier objeto de hasta $1$ kilogramo de peso. Determinar el mínimo número de veces que se debe usar la balanza para identificar con certeza la bolsa con las monedas de $9$ gramos.





2013



Problema 1

Hay $2000$ personas paradas en una fila. Cada una de ellas es un mentiroso, que siempre miente, o un veraz, que siempre dice la verdad. Cada una de las personas dice la misma frase: "hay más mentirosos a mi izquierda que veraces a mi derecha". Determinar, si es posible, cuántas personas de cada clase hay en la fila.



Problema 2

Sean $x,y,z$ distintos a $1$ y distintos entre sí, demostrar que si $\dfrac{yz-x^2}{1-x}=\dfrac{zx-y^2}{1-y}$ entonces$$\frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}=x+y+z.$$



Problema 3

Hay $1390$ hormiguitas cerca de una recta de modo que la distancia entre la cabeza de cada hormiga y la recta es menor que $1\text{cm}$ y la distancia entre las cabezas de dos hormigas es siempre mayor que $2\text{cm}$. Demostrar que existen dos hormiguitas cuyas cabezas estan por lo menos a distancia $10$ metros (suponer que la cabeza de cada hormiga es un punto).



Problema 4

Demostrar que para todo entero positivo $n$ el número $N=\underbrace{44\ldots 4}_{n}\underbrace{88\ldots 8}_{n}-1\underbrace{33\ldots 3}_{n-1}2$ es un cuadrado perfecto.



Problema 5

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $D$ en el lado $AC$. La perpendicular a $BC$ por $D$ corta a $BC$ en $E$, la perpendicular a $AB$ por $E$ corta a $AB$ en $F$, la perpendicular a $AC$ por $F$ corta a $AC$ en $G$. Las rectas $FG$ y $DE$ se cortan en $P$ (pueden cortarse en el interior o en el exterior del triángulo $ABC$). Si $M$ es el punto medio de $BC$, demostrar que $BP$ corta a $AM$ en su punto medio.



Problema 6

Sean $m\geq 4$ y $n\geq 4$. En cada casilla de un tablero de $m\times n$ hay escrito un número entero. El número en cada casilla es el promedio de dos de los números de algunas de sus casillas vecinas (que comparten lado con la casilla dada).

Calcular la mayor cantidad posible de números distintos que puede contener el tablero.





2012



Problema 1

En un tablero de $9 \times 9$ Sofía colorea $46$ casillas de rojo. Pedro debe elegir un cuadrado de $2 \times 2$ del tablero (de $4$ casillas). Si el tablero que elige Pedro tiene $3$ o más casillas rojas, gana Pedro, si no, gana Sofía. Determinar cual de los dos tiene estrategia ganadora.



Problema 2

Hallar todas las cuaternas de enteros positivos $(w,x,y,z)$ tales que $w^x+w^y=w^z$.



Problema 3

Hay $16$ personas sentadas alrededor de una mesa redonda. Se levantan todas y se vuelven a sentar de modo que cada persona se sienta en el mismo lugar en el que estaba o en un lugar vecino (al lado) del que estaba. Determinar cuántas distribuciones de las $16$ personas satisfacen estos requisitos.



Problema 4

Calcular cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $1000$ tienen la propiedad de que la suma de los dígitos de $5n$ es igual a la suma de los dígitos de $n$.



Problema 5

En un triangulo $\triangle ABC$ sean $K$ y $L$ puntos en $AB$ tales que $\angle ACK=\angle KCL =\angle LCB$. El punto $M$ en $BC$ es tal que $\angle MKC=\angle BKM$. Si $ML$ es bisectriz de $\angle KMB$, hallar $\angle MLC$.



Problema 6

En la mesa hay una pila de piedras. En cada paso se pueden quitar algunas piedras. En el primer paso se quita una piedra y de ahí en mas, en cada paso se puede quitar la misma cantidad de piedras que en el paso anterior o quitar el doble que en el paso anterior. Determinar el mínimo de pasos necesarios para quitar exactamente $2012$ piedras de la mesa.





2011



Problema 1

Hallar todos los números enteros positivos $N$ para los que existe un múltiplo de $11$ que tiene la suma de sus dígitos igual a $N$.



Problema 2

Inicialmente hay una pila con $360$ piedras. Nico y Maxi juegan al siguiente juego. Por turnos quitan piedras de la pila. Maxi comienza el juego. En cada jugada, el jugador puede retirar exactamente $1$ o exactamente $M$ o exactamente $N$ piedras de la pila. Gana el jugador que retira la ultima piedra.

Antes de comenzar el juego, Nico fija el valor de $N$, con $N$ mayor o igual a $2$ y menor o igual a $9$. A continuación Maxi fija el valor de $M$, con $M$ distinto de $N$, y $M$ mayor o igual a $2$ y menor o igual a $9$, y comienza el juego.

Determinar si alguno de los dos puede fijar su número para asegurarse la victoria, si los dos juegan a ganar.



Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo y consideramos su circunferencia circunscrita. La cuerda $AD$ es la bisectriz del ángulo $A$ del triangulo $ABC$ y corta al lado $BC$ en $L$; la cuerda $DK$ es perpendicular al lado $AC$ y lo corta en $M$. Si $\frac{BL}{LC} =\frac{1}{2}$, calcular $\frac{AM}{MC}$.



Problema 4

Un palíndromo multiplicativo es un número que no empieza con $0$, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda y que se puede expresar como multiplicación de dos enteros positivos tales que el segundo es igual al primero pero leído de derecha a izquierda (como $4831$ y $1384$). Por ejemplo, $20502$ es un palíndromo multiplicativo, pues $102\times201=20502$ y $20502$ es un palíndromo. Determinar todos los palíndromos multiplicativos de $5$ dígitos.



Problema 5

En el pizarrón están escritos los números enteros del $1$ al $33$. En cada paso se eligen dos números del pizarrón tales que uno divida al otro, se borran y se escribe el cociente entero de los dos números recién borrados. Este procedimiento se repite hasta que no haya en el pizarrón ningún número que divida a otro. Determinar la menor cantidad de números que pueden quedar al final en el pizarrón.



Problema 6

Dado un entero positivo $n$, denotamos $S_n$ a la suma de los $n$ primeros números primos (positivos): $S_1=2$, $S_2=2+3=5$, $S_3=2+3+5=10$, etc. Determinar si existen dos términos consecutivos de la sucesión $S_1,S_2,S_3,\cdots$ que sean ambos cuadrados perfectos.





2010



Problema 1

Ariel tiene que factorizar en primos los números enteros $200^2,201^2,\ldots ,900^2$, es decir, todos los cuadrados perfectos desde $200^2$ hasta $900^2$. A continuación debe hacer la lista de todos los primos distintos que figuran en alguna de estas factorizaciones. Franco tiene que factorizar en primos los números enteros $200^2-1,201^2-1,\ldots ,900^2-1$, es decir, todos los que preceden a los cuadrados perfectos desde $200^2-1$, hasta $900^2-1$. A continuación debe hacer la lista de todos los primos distintos que figuran en alguna de estas factorizaciones.

¿Cuál de las dos listas tiene más primos?



Aclaración: Cuando Ariel hace su lista, si un primo figura en varios números o varias veces en un número, lo cuenta sólo una vez. Lo mismo hace Franco.



Problema 2

En cada casilla de un tablero de $100 \times 210$ está escrito un número y no todos los números son cero. Para cada casilla, si $A$ es la suma de todos los números escritos en la fila de la casilla (incluido el número de la casilla) y $B$ es la suma de todos los números de la columna de la casilla (incluido el número de la casilla), entonces el número escrito en la casilla es igual al producto $AB$.

Hallar la suma de todos los números del tablero y dar un ejemplo de tablero que tenga, en cada fila, todos los números distintos, y en cada columna, todos los números distintos.



Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo. Consideramos puntos $E$ y $D$ del interior de los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $AE=BD$. Sean $M$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BE$. Demostrar que el simétrico de $P$ con respecto a $M$ pertenece a la bisectriz del ángulo $\hat{ACB}$.



Problema 4

Se tiene un cuadrado de $2010 \times 2010$ cuadriculado en cuadritos de $1 \times 1$ al que se le recortó el cuadrito de $1 \times 1$ de la esquina inferior derecha. Determinar si el tablero de un cuadrito menos se puede cubrir totalmente, sin huecos ni superposiciones, y sin salirse del tablero, con piezas de los siguientes dos tipos (tantas como se quieran de cada tipo). ¿Y si el tablero inicial es de $2011 \times 2011$?

$$\begin{array}{|c|c}\cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array}

\qquad

\begin{array}{|c|cc}\cline{1-1} \; & \; & \; \\ \cline{1-1} \; & \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array}$$
Imagen
Piezas.png




Problema 5

Consideramos la sucesión de los números enteros desde $0$ hasta $63$ inclusive. Decidir si es posible reordenar los $64$ números de manera que, en el nuevo orden, para cada elección de tres números $a,b,c$ tales que $a$ está antes de $b$ y $b$ antes de $c$ se verifique $a-b\neq b-c$.



Aclaración: El número $a$ no es necesariamente el anterior a $b$ en el nuevo orden, y lo mismo ocurre con $b$ y $c$.



Problema 6

Sea $I = \{1,2,...,2010\}$ el conjunto de todos los números enteros desde $1$ hasta $2010$ inclusive. Hallar el mayor entero positivo $n$ para el que existen $n$ conjuntos distintos de números contenidos en $I$ tales que:
  • Para todo par de estos conjuntos, la unión de los dos conjuntos contiene a lo sumo $2005$ números distintos.

  • Para todo trío de estos conjuntos, la unión de los tres conjuntos es igual al conjunto $I$ de todos los números enteros desde $1$ hasta $2010$ inclusive.




2009



Problema 1

En una isla viven $200$ personas: $100$ sinceros, que siempre dicen la verdad, y $100$ mentirosos, que siempre mienten. Cada una tiene por lo menos una persona amiga en la isla. Cierto día, $100$ personas afirmaron, cada una, “todos mis amigos son sinceros” y las otras $100$ personas afirmaron, cada una, “todos mis amigos son mentirosos”. Si se forman todos los pares de amigos integrados por una persona sincera y la otra mentirosa, determinar la menor cantidad de estos pares que puede haber.



Aclaración: Si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$. Cada persona puede integrar más de un par.



Problema 2

Sean $p$, $q$ y $r$ tres primos tales que $p<q<r$ . Si $2p^2 - r^2 \geq 49$ y $2q^2-r^2 \leq 193$, hallar los posibles valores de $p$, $q$ y $r$.



Problema 3

Determinar si es posible cubrir un cuadrado de lado $2,1$ con $7$ cuadrados de lado $1$. (Los cuadrados de lado $1$ se pueden girar y pueden superponerse.)



Problema 4

Freddy escribió en cada casilla de un tablero de $10\times 10$ un número entero del $1$ al $10$ inclusive, de modo que los números de casillas adyacentes (con un lado o un vértice común) son coprimos. Demostrar que hay un número que se repite al menos $17$ veces.



Aclaración: Dos números son coprimos si su máximo común divisor es $1$.



Problema 5

Sea $ABCD$ un cuadrado y $E$ un punto del lado $BC$. El segmento $AE$ corta a la diagonal $BD$ en $G$. Sea $F$ en el lado $CD$ tal que $FG$ es perpendicular a $AE$, y sea $K$ en $FG$ tal que $AK=FE$. Calcular la medida del ángulo $F\widehat KE$.



Problema 6

Sea $m$ un entero positivo y $U$ el número formado por $m$ dígitos $1$:$$U=\underbrace{11\cdots 1}_{m\ \text{veces}}.$$Si $A$ es un múltiplo de $U$, determinar el menor valor que puede tener la suma de los dígitos de $A$.





2008



Problema 1

Fede tiene $11$ monedas aparentemente todas iguales. Sin embargo, Fede sabe que exactamente una de sus monedas es falsa, y que su peso es inferior al de las auténticas (todas las auténticas tienen pesos iguales). Para detectar la moneda falsa, Fede tiene una balanza de dos platos fallada: esta balanza se equilibra cuando el peso de los objetos colocados en el plato izquierdo es igual al doble del peso de los objetos colocados en el plato derecho. Demostrar que Fede siempre puede detectar la moneda falsa utilizando tres veces esta balanza.



Problema 2

Sean $a$ y $b$ enteros $a\neq -1$, $b\neq -1$, tales que $\frac{a^4-1}{b+1} + \frac{b^4-1}{a+1}$ es un número entero. Demostrar que $\frac{a^4b^{2008}-1}{a+1}$ es un número entero.



Problema 3

Alex y Fredy colorean por turnos las casillas de un tablero de $n \times n$ ($n \geq 2$). Alex, en su turno, debe colorear de azul un cuadrado de $2 \times 2$ formado por $4$ casillas del tablero tales que ninguna de ellas se haya coloreado anteriormente. Fredy, en su turno, colorea de rojo una casilla del tablero que no se haya coloreado previamente. Comienza Alex. Cada uno quiere colorear, en total, la mayor cantidad posible de casillas. Si ambos juegan de la mejor manera posible, ¿cuántas casillas tendrán el color rojo? (Cuando Alex no puede jugar más, Fredy sigue hasta terminar el tablero.)



Problema 4

Sea $O$ el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo $ABC$. Denotamos $D$ al punto de intersección de la recta $AO$ con el segmento $BC$. Si $OD=BD=\frac{1}{3}BC$, calcular la medida de los ángulos del triángulo.



Problema 5

Un triángulo equilátero de lado $100$ está dividido en $100^2 = 10000$ triángulos equiláteros de lado $1$ mediante paralelas a sus lados. Decidir si es posible numerar los triángulos unitarios con los números de $1$ a $10000$, sin repetir números, de modo que el triángulo que tiene el número $i$ tenga por lo menos un punto común con el triángulo que tiene el número $i + 1$ y por lo menos un punto en común con el triángulo que tiene el número $i + 2$ para todo $i\, =\, 1,\, 2,\, \ldots \, ,\, 9998$.



Problema 6

Alrededor de una circunferencia hay escritos $53$ dígitos distintos de cero. Hay que cortar la circunferencia en arcos de modo que cada arco contenga al menos dos dígitos, y sumar los números que se hayan formado de esta manera. (Todos los números se leen en el sentido de las agujas del reloj.)

Demostrar que hay dos maneras diferentes de cortar la circunferencia para las que las sumas obtenidas son iguales.





2007



Problema 1

En cada casilla de un tablero de $1 \times 2007$ se escribe un 0 o un 1 de modo que la suma de los números de 90 casillas consecutivas sea siempre igual a 65. Determinar los valores posibles de la suma de los 2007 números escritos en el tablero.



Problema 2

Alex y Beto juegan al siguiente juego. Primero se sortea un número entero $n$ mayor que 1, y a partir de entonces, eligen alternadamente enteros positivos. Comienza Alex, que debe elegir un número menor que $n$ pero mayor o igual que $\frac{n}{2}$. Luego, en cada turno, si el último número elegido (por el oponente) fue $k$ entonces el siguiente debe ser menor que $k$ pero mayor o igual que $\frac{k}{2}$. El ganador es el que elige el 1.



Para cada valor inicial $n$, determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora y describir dicha estrategia.



Problema 3

Hallar todas las ternas de primos positivos distintos $p, q, r$ tales que
$\dfrac{q+r}{p}$ ; $\dfrac{r+2p}{q}$ ; $\dfrac{p+3q}{r}$

sean números enteros.



Problema 4

Sea $n$ un número entero mayor o igual que 4. Alrededor de una circunferencia hay $n$ tarjetas cada una de las cuales tiene escrito un 1 o un –1 pero del lado que no se ve. Martín debe determinar el producto de los $n$ números escritos en las tarjetas. Para ello puede preguntar cuánto vale el producto de los números de tres tarjetas cualesquiera, a su elección. Determinar para cada $n$ el número mínimo de preguntas que necesita Martín para conocer con certeza el producto de los $n$ números.



Problema 5

Dado un triángulo equilátero $ABC$ sea $M$ un punto del lado $BC$, con $M \neq B$ y $M \neq C$. Se considera el punto $N$ tal que el triángulo $BMN$ sea equilátero y $A$ y $N$ estén en distintos semiplanos respecto de $BC$. Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos medios de $AB$, $BN$ y $CM$ respectivamente. Demostrar que el triángulo $PQR$ es equilátero.



Problema 6

Un programa de computadora genera una sucesión de números naturales con la siguiente regla: el primer número es un entero mayor que 1 y lo elige Matías; a partir de entonces, el programa factoriza en primos el último número generado y el nuevo número generado es 1 más la suma de cada primo de la factorización multiplicado por el exponente que le corresponde. Por ejemplo, si el número de Matías es 80, la computadora halla $80 = 2^4 \times 5^1$ y genera $14=1+2\times4+5\times1$ . El siguiente número generado es 10, pues $14=2^1\times7^1$ y $10=1+2\times1+7\times1$.



Demostrar que cualquiera sea el número inicial de Matías (mayor que 1), en algún momento la sucesión de los números generados se hace periódica (tiene un ciclo de valores que se repiten indefinidamente), y hallar los posibles ciclos de acuerdo a la elección inicial de Matías.





2006



Problema 1

Hallar todos los enteros positivos $k$ tales que el resultado de multiplicar los dígitos de $k$ es igual a $$\frac{25}{8}k-211.$$



Problema 2

En cada casilla de un tablero de $12\times 12$ hay un $0$ ó un $1$. La operación permitida es elegir $5$ casillas consecutivas en dirección horizontal, vertical o diagonal y en esas $5$ casillas cambiar cada $0$ por $1$ y cada $1$ por $0$.



Inicialmente todas las casillas tienen un $0$. Determinar si es posible, mediante una secuencia de operaciones permitidas, lograr que todas las casillas del tablero tengan un $1$.



Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat{A}C=120^\circ$. Las bisectrices de los ángulos $\widehat{A},\, \widehat{B},\, \widehat{C}$ cortan a los respectivos lados opuestos en los puntos $D,\, E,\, F$. Demostrar que el ángulo $E\widehat{D}F$ es recto.



Problema 4

Hallar el menor número formado exclusivamente por dígitos $3$ y $7$, con al menos un dígito de cada clase, tal que tanto el número como la suma de sus dígitos sea divisible por $3$ y por $7$.



Problema 5

En el pizarrón están escritos los cuadrados de los primeros $101$ números enteros positivos: $$1^2\quad 2^2\quad 3^2\quad \ldots \quad 100^2\quad 101^2\,.$$

Hay que escribir delante de cada número un signo “$+$” o un signo “$-$” de manera que al realizar la suma algebraica de los $101$ números se obtenga el menor valor mayor o igual que cero que sea posible. Determinar cuál es ese mínimo e indicar como se distribuyen los signos para lograrlo.



Problema 6

Sea $n$ un entero positivo. Se considera el tablero de $(n-1)\times (n+1)$, dividido en casillas de $1 \times 1$. Hay que colorear el tablero usando $3$ colores, cada casilla con un color, de manera que para cada elección de $2$ filas y $2$ columnas del tablero, las $4$ casillas que se encuentran en la intersección de esas $2$ filas y esas $2$ columnas no sean todas de un mismo color.

Determinar el máximo valor de $n$ para el que es posible lograr una coloración con esta propiedad.





2005



Problema 1

Julián debe escribir los enteros desde $1$ hasta $100$ inclusive alrededor de una circunferencia de modo que cada uno sea mayor que sus dos vecinos o sea menor que sus dos vecinos. Un par de números adyacentes es malo si al suprimir ese par los $98$ números restantes mantienen la propiedad de que cada número es mayor que sus dos vecinos o es menor que sus dos vecinos. Hallar el mínimo número de pares malos que puede tener la distribución de Julián.



Problema 2

Dado un ángulo de $13^{\circ}$, construir un ángulo de $1^{\circ}$ utilizando exclusivamente regla y compás.



Problema 3

Se tienen en el plano $5$ rectas horizontales y $401$ rectas verticales. Estas rectas determinan, al cortarse, $2005$ puntos. Se colorean los $2005$ puntos con uno de tres colores, rojo, azul y verde, con el siguiente procedimiento:

Primero se asigna uno de los tres colores a cada una de las $406$ rectas, y luego si el punto es la intersección de dos rectas de igual color, se lo pinta de ese color, y si el punto es intersección de dos rectas de distinto color, se lo pinta del tercer color (el que es distinto de los que tienen las rectas que lo determinan). Finalmente se borran las rectas, dejando solamente los $2005$ puntos coloreados. Calcular el número de coloraciones distintas del conjunto de $2005$ puntos que se puede obtener con este procedimiento.



Problema 4

Hallar todos los enteros positivos $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:$$\left \lfloor \frac{x}{\lfloor \sqrt{x}\rfloor}\right \rfloor =100.$$



Problema 5

Sea $ABCD$ un cuadrado. Una recta $t$ corta al lado $BC$ en $K$ ($K \neq B$ y $K \neq C$), a la diagonal $AC$ en $L$ y a la prolongación del lado $BA$ en $M$, de modo que $KL = DL$. Calcular la medida del ángulo $\hat{KMD}$.



Problema 6

Consideramos los pares $(a,b)$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Las operaciones permitidas son



$(a,b) \rightarrow (a,2b)$;

$(a,b) \rightarrow (2a,b)$;

$(a,b) \rightarrow (a-b,b)$ si $a>b$;

$(a,b) \rightarrow (a,b-a)$ si $a<b$.



Determinar si a partir de $(1,1)$, mediante alguna secuencia de operaciones permitidas, se puede obtener

a) el par $(2005,2010)$;

b) el par $(2004,2006)$.





2004



Problema 1

Dado un número natural $n$ consideramos el conjunto $I_n$ de todos los números naturales desde $1$ hasta $n$: $I_n = \{1,2,...,n\}$. Una división de $I_n$ en dos conjuntos se denomina vulgar si en alguno de los dos conjuntos hay dos números distintos cuya suma es un cuadrado perfecto. En otro caso, la división se dice original.

Determinar los valores de $n$ para los cuales existen divisiones originales de $I_n$. (Para cada uno de los $n$ hallados indicar una división original de $I_n$ y demostrar que para los otros valores de $n$ todas las divisiones de $I_n$ en dos conjuntos son vulgares.)



Problema 2

Una civilización antigua sólo disponía de un instrumento de geometría. Este instrumento cumple dos funciones, y ninguna más: trazar rectas por dos puntos y trazar perpendiculares a una recta por un punto dado.



Dar un procedimiento para dividir un ángulo dado de $60^\circ$ en dos ángulos iguales utilizando exclusivamente el instrumento de los antiguos.



Problema 3

Dos jugadores escriben, por turnos, un dígito en el pizarrón, uno a continuación del otro, de izquierda a derecha. El jugador que escribe un dígito tal que el número formado por uno o varios dígitos consecutivos de los escritos en el pizarrón es múltiplo de $11$, pierde el juego. Determinar cuál de los dos jugadores, el que empieza o el segundo, puede asegurarse la victoria, no importa lo bien que juegue su oponente. Indicar cómo debe jugar y explicar porqué de ese modo ganará.



Problema 4

Nicolás debe dibujar un triángulo $ABC$ y un punto $P$ en su interior de modo que entre los $6$ triángulos en los que queda dividido el $ABC$ mediante las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ haya $4$ que tengan áreas iguales. Decidir si es posible lograrlo sin que los $6$ triángulos tengan áreas iguales.



Problema 5

Determinar las ternas de enteros positivos $a$, $b$ y $c$ tales que$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{c+2}.$$



Problema 6

Inicialmente hay una hormiga en un vértice de un cubo, y un oso hormiguero con los ojos vendados trata de atraparla. Mueven por turnos. En cada turno la hormiga puede quedarse en el mismo vértice o desplazarse a cualquiera de los tres vecinos (unidos por una arista al vértice en el que está). El oso, en su turno elige $n$ vértices. Si en alguno de los $n$ vértices elegidos está la hormiga, la ha atrapado. Si no, continúa el juego.



Determinar si el oso hormiguero tiene una estrategia que le permita atrapar con certeza a la hormiga
  • a) para $n=3$,


  • b) para $n=4$,


  • c) para $n=5$.


En cada caso, si la respuesta es afirmativa, dar la estrategia y explicar porqué le asegura atrapar a la hormiga. Si la respuesta es negativa, justificar por qué cualquier estrategia puede fallar.





2003



Problema 1



Problema 2



Problema 3



Problema 4



Problema 5



Problema 6





2002



Problema 1



Problema 2



Problema 3



Problema 4



Problema 5



Problema 6





2001



Problema 1

Sean $a,b,c,d$ dígitos, con $a$ distinto de $0$, tales $0,abc=\frac{a}{b+c+d}$.

Hallar todos los posibles valores de $a,b,c,d$.



Problema 2



Problema 3



Problema 4

Del entero positivo $N$ se sabe que:
  • $N$ no es múltiplo de $5$,

  • $N-96$ es múltiplo de $128$,

  • $N$ tiene $2001$ dígitos,

  • Todos los dígitos de $N$ son pares,

  • La suma de los dígitos de $N$ es $2\cdot 2001-4=3998$,

  • La suma de los cuadrados de los dígitos de $N$ es $4\cdot 2001=8004$.

Hallar $N$.



Problema 5

Sobre la recta $r$ Pablo marca, de izquierda a derecha, los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$. Lucas debe construir, con regla y compás, un cuadrado $PQRS$, de lados $PQ$, $QR$, $RS$ y $SP$, contenido en uno de los semiplanos determinados por la recta $r$, de modo que $A$ pertenezca a la recta $PQ$, $B$ pertenezca a la recta $RS$, $C$ pertenezca a la recta $QR$ y $D$ pertenezca a la recta $SP$.



Mostrar un procedimiento que siempre le permita a Lucas hacer la construcción y justificar porqué con dicho procedimiento siempre se logra el cuadrado pedido.



Problema 6





2000



Problema 1



Problema 2

Pablo elige un entero positivo $n$ y escribe en el pizarrón los $2n+1$ números$$\frac{n}{1},\frac{n}{2},\frac{n}{3},\cdots ,\frac{n}{2n+1}$$(los denominadores aumentan de a $1$ por vez).



Laura elige dos números escritos por Pablo, $a$ y $b$, los borra y escribe el número $2ab-a-b+1$. Después de repetir este procedimiento $2n$ veces, en el pizarrón hay un solo número escrito. Determinar los posibles valores de este único número.



Problema 3



Problema 4

Enzo le dice a su hermana que si ella piensa un número con todos sus dígitos distintos y ordenados en forma creciente de izquierda a derecha, y luego multiplica por $9$ el número que pensó, él siempre sabe cuánto vale la suma de los dígitos del resultado de la multiplicación, aunque no sabe qué número pensó la hermana.



Decidir si Enzo miente o dice la verdad y explicar por qué.



Problema 5

Sea $P$ un punto en el interior de un ángulo, que no pertenece a la bisectriz del mismo. Se consideran dos segmentos por $P$: $AB$ y $CD$, con $A$ y $C$ en uno de los lados del ángulo, $B$ y $D$ en el otro lado del ángulo, tales que $P$ es el punto medio de $AB$ y $CD$ es perpendicular a la bisectriz del ángulo. Demostrar que $AB > CD$.



Problema 6

Se tiene la sucesión $P(1),\, P(2),\, P(3),\,\ldots$ definida por las siguientes reglas:$$\begin{align*}

P(1)&=1&\\

P(2)&=P(1)+P(1)=2\\

P(3)&=P(2)+P(1)=3 \\

P(4)&=P(3)+P(2)=5\\

P(5)&=P(4)+P(2)=7

\end{align*}$$y en general;
  • si $n>1$ es par, entonces$$P(n)=P(n-1)+P\left (\frac{n}{2}\right )$$

  • si $n>1$ es impar, entonces$$P(n)=P(n-1)+P\left (\frac{n-1}{2}\right )$$


Demostrar que existe un valor de $n$, con $n>2000$, tal que $P(n)$ es multiplo de $7$.





1999



Problema 1

En un reino hay $12$ ciudades. Entre ciertos pares de ciudades se crean enlaces de ida y vuelta de ómnibus, tren o avión. Hallar la menor cantidad de enlaces necesaria para que, si hay un paro de uno cualquiera de los tres medios de transporte, igual sea posible viajar desde cada ciudad a todas las demás ciudades.



Problema 2



Problema 3

Se eligen $5$ números naturales distintos $a,b,c,d,e$, ordenados de menor a mayor: $1\leq a<b<c<d<e$. Luego se calcula el mínimo común múltiplo de cada número con el siguiente y finalmente, se efectúa la suma de sus inversos:$$S=\frac{1}{\text{mcm}(a,b)}+\frac{1}{\text{mcm}(b,c)}+\frac{1}{\text{mcm}(c,d)}+\frac{1}{\text{mcm}(d,e)}$$¿Cuál es el máximo valor que puede tener el resultado final $S$?



Problema 4

En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ en el lado $AB$ tal que $AP^2 = BP \cdot BC$ y $M$ el punto medio de $BP$.

Si $N$ es el punto interior del cuadrado tal que $AP = PN$ y $MN$ es paralelo a $BC$, calcular la medida del ángulo $\angle{BAN}$



Problema 5

Dado un número natural $n>1$, definimos las siguientes dos operaciones.



Operación $1$:

Se calcula la parte entera de cada una de las $n$ fracciones $\frac{n}{1},\frac{n}{2},\ldots ,\frac{n}{n}$, y luego se suman:$$\left [\frac{n}{1}\right ]+\left [\frac{n}{2}\right ]+\cdots +\left [\frac{n}{n}\right ].$$Operación $2$:

Se calcula la parte entera de cada una de las $n-1$ fracciones $\frac{n-1}{1},\frac{n-1}{2},\ldots ,\frac{n-1}{n-1}$, luego se suman y se añade $2$ al resultado:$$2+\left [\frac{n-1}{1}\right ]+\left [\frac{n-1}{2}\right ]+\cdots +\left [\frac{n-1}{n-1}\right ].$$Determinar todos los valores de $n$ para los que el resultado de la operación $1$ es igual al resultado de la operación $2$.



Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran, por ejemplo, $\left [\frac{18}{1}\right ]=18$; $\left [\frac{18}{2}\right ]=9$; $\left [\frac{18}{4}\right ]=4$; $\left [\frac{18}{13}\right ]=1$; etc.



Problema 6

Sean $m\geq 2$, $n\geq 2$ números enteros. Se desea colorear las casillas de un tablero de $m\times n$ con blanco y negro de modo tal que cada casilla tenga exactamente dos vecinas del otro color. Determinar todos los valores de $m$ y $n$ para los cuales es posible hacer tal coloración.



Aclaración: Casillas vecinas son las que tienen un lado común.





1998



Problema 1

Utilizando exactamente una vez cada dígito $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, se forman números de una cifra o de dos cifras y luego se suman. Por ejemplo:$$\begin{align*}10+2+73+48+9+56 & =198, \\

3+0+2+47+5+68+91 & =216,

\end{align*}$$Hallar todos los múltiplos de $13$ que pueden obtenerse como resultado en alguna de estas sumas.



Problema 2



Problema 3

Se tienen $1998$ piedras. Se sabe que una de ellas pesa $1\text{ kg}$ y otra pesa $2\text{ kg}$, pero se ignora cuando pesan las demás. Si se divide el conjunto de piedras en tres grupos de $666$ piedras cada uno, no importa cómo se haga esta división, al menos dos de los grupos pesan lo mismo. Determinar todos los posibles valores del peso total de las $1998$ piedras.



Problema 4

Hallar un número $N$ de $200$ cifras tal que la suma de las cifras de $N$ sea $100$, la suma de las cifras del producto $6.N$ sea $600$ y la suma de las cifras del producto $59\cdot N$ sea $518$.



Problema 5

En el pizarrón están escritos $N$ números: el primero igual a $0$ y los restantes $N-1$ iguales a $1$.

La operación permitida es borrar dos números del pizarrón, a elección, y en cada uno de los dos lugares que quedaron vacíos escribir el promedio de los dos números recién borrados. Al finalizar cada operación permitida se tienen nuevamente $N$ números escritos en el pizarrón.

Hallar todos los valores de $N$ para los cuales es posible, mediante una sucesión de operaciones permitidas, tener finalmente escritos en el pizarrón $N$ números iguales.



Problema 6

Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz del ángulo $\hat{CAB}$ intersecta a $BC$ en $D$ y la bisectriz del ángulo $\hat{ABC}$ intersecta a $CA$ en $E$. Si $AE+BD=AB$, demostrar que $\hat{BCA} = 60^{\circ}$.





1997



Problema 1

Consideramos los números enteros $n$, $1\leq n\leq 100$. ¿Para qué valores de $n$ existe por lo menos un número natural de $n$ cifras que es múltiplo impar de $13$ y tiene la suma de cifras igual a $4$?



Problema 2

Hallar siete primos distintos, $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7$, menores que $1000$, tales que$$p_7-p_6=p_6-p_5=p_5-p_4=p_4-p_3=p_3-p_2=p_2-p_1.$$



Problema 3

Dado el triángulo $ABC$ tal que el menor de sus ángulos es $\widehat {A} = 30^{\circ}$, sean $O$ el punto de intersección de las mediatrices e $I$ el punto de intersección de las bisectrices. Si $D$ y $E$ son puntos de los lados $AB$ y $CA$, respectivamente, tales que $BD=CE=BC$, demostrar que $OI$ y $DE$ son perpendiculares y de igual longitud.



Problema 4

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $CD$ la altura correspondiente al vértice $C$. Si $M$ es el punto medio de $BC$ y $N$ es el punto medio de $AD$, calcular $MN$ sabiendo que $AB=8$ y $CD=6$.



Problema 5

Hay $101$ bolillas, numeradas de $1$ a $101$, distribuidas en dos bolilleros, $A$ y $B$. La bolilla $40$ está en el bolillero $A$. Si se pasa esta bolilla al bolillero $B$, el promedio de los números de las bolillas de $A$ aumenta en $\frac{1}{4}$ y el promedio de los números de las bolillas de $B$ aumenta también en $\frac{1}{4}$. ¿Cuántas bolillas tenía inicialmente el bolillero $A$?



Problema 6

En un grupo de $n$ personas, cada dos de ellas son amigos o enemigos y cada una tiene exactamente $10$ enemigos. Además se cumple la ley:




"Los enemigos de mis amigos son mis enemigos".




¿Qué valores puede tener $n$?

Vistas: 209  •  Comentarios: 2  •  Escribir comentario [ Leer todo ]

Thales 2


Aprovecho este post exclusivo para mostrar una propiedad, la cual se deriva del teorema de Thales, y acabo de usar en un problema de un nacional.
thales 2.png
Dadas dos rectas paralelas $AB$ y $DC$, sea $X$ el punto de intersección de las mismas. Si la recta $XY$, con $Y$ perteneciente al segmento $AB$, corta $DC$ en $Z$, luego sabemos que se cumple que: $\boxed{\frac{AY}{DZ} = \frac{YB}{ZC}}$.

Demostración:
Viendo los triángulos $XAY$ y $XDZ$, sabemos que estos son semejantes ya que $AY$ es paralela a $DZ$, por lo tanto $\angle XDZ = \angle XAY, \angle XZD = \angle XYA$ y por criterio $AA$ son semejantes.

De la misma manera podemos concluir que los triángulos $XBY$ y $XZC$ son semejantes.


Por Thales en $XAY$ y $XDZ$
$\frac{XY}{XZ} = \frac{AY}{DZ}$

Por Thales en $XBY$ y $XZC$
$\frac{XY}{XZ} = \frac{YB}{ZC}$

Por transitividad
$\boxed{\frac{AY}{DZ} = \frac{YB}{ZC}}$

Que era lo que buscábamos demostrar.
$\blacksquare$

Vistas: 94  •  Comentarios: 0  •  Escribir comentario [ Leer todo ]

Problema con primos


Hallar todos los primos $p, q$ tales que $p^3 + 3q^3 - 32$ sea primo.

Vistas: 158  •  Comentarios: 1  •  Escribir comentario

Provincial 2015 Nivel 2 Problema 1


Se escribe una lista de números enteros mayores o iguales que cero con el siguiente procedimiento: cada número a partir del tercero es la resta de los dos anteriores, es decir, si $a,b,c$ son números consecutivos de la lista, en ese orden, entonces $c=a-b$. La lista termina cuando esa resta es un número negativo. Por ejemplo: $120,73,47,26,21,5,16$. Hallar el entero positivo $A$ de modo que la lista que empieza con $190$ y $A$, en ese orden, tenga la mayor cantidad posible de números.

Vistas: 109  •  Comentarios: 2  •  Escribir comentario [ Leer todo ]




  •  ¿Quién está conectado?
  • En total hay 18 usuarios conectados :: 4 registrados, 0 ocultos y 14 invitados

    Usuarios registrados: Bing [Bot], Carpcho, Google Adsense [Bot], Ulis7s