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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Versión 1. Sea $n$ un entero positivo, y $N=2^n$. Determinar el menor número real $a_n$ tal que, para todo $x$ real, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq a_n(x-1)^2+x.$$ Versión 2. Para todo entero positivo $N$, determinar el menor número real $b_N$ tal que, para todo real $x$, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq b_N(x-1)^2+x.$$
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Problema del día de Geometría:
Sean $A,B,C,D$ puntos que no están en un mismo plano tales que $AB\perp CD$ y $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$.
a) Demostrar que $AC\perp BD$.
b) Demostrar que si $CD<BC<BD$, entonces el ángulo entre los planos $ABC$ y $ADC$ es mayor que $60^\circ$.
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Problema del día de Ñandú:
En un pizarrón está escrito varias veces el número $2019$.$$201920192019201920192019\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots20192019.$$En total hay $1004$ dígitos escritos.
¿Cuál es la menor cantidad de dígitos que se pueden borrar para que la suma de los dígitos que quedan escritos sea $2019$?
¿Qué dígitos hay que borrar? Explica cómo los encontraste.
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  • Últimos temas

SELECTIVO-CONO-SUR-PERÚ-2020-Problema 6


Sea $a_1, a_2, a_3, . . .$ una secuencia de enteros positivos satisfaciendo las siguientes condiciones:

$a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + a_{⌊\sqrt{n}⌋}$ para todo $n ≥ 1$

Pruebe que para cada entero positivo $k$ existe un término al que es divisible por $k$.

Nota: El símbolo $⌊x⌋$ denota al mayor número entero que es menor o igual a $x$.

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Olimpíada de Mayo 2022 N1 P5


Vero tenía un triángulo isósceles de papel. Usando una tijera, lo dividió en tres triángulos más pequeños y los pintó de azul, rojo y verde. Una vez hecho esto, observó que:
  • con el triángulo azul y el triángulo rojo se puede formar un triángulo isósceles;
  • con el triángulo azul y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles;
  • con el triángulo rojo y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles.
Mostrar cómo puede haber sido el triángulo de Vero y cómo puede haber hecho los cortes para que esta situación sea posible.

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Olimpíada de Mayo 2022 N1 P4


Ana y Bruno tienen un tablero cuadriculado de $8 \times 8$. Ana pinta cada una de las $64$ casillas con algún color. Después Bruno elige dos filas y dos columnas del tablero y mira las $4$ casillas donde se cruzan. El objetivo de Bruno es que estas $4$ casillas sean del mismo color.

¿Cuántos colores como mínimo debe usar Ana para que Bruno no pueda cumplir su objetivo?

Mostrar cómo puede pintar el tablero con esa cantidad de colores y explicar por qué si usa menos colores entonces Bruno siempre puede cumplir su objetivo.

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Olimpíada de Mayo 2022 N1 P3


Elegir nueve de los dígitos del $0$ al $9$ y colocarlos en los casilleros de la figura de manera que no haya dígitos repetidos y la suma indicada sea correcta.
p3n1.jpeg
¿Qué dígito quedó sin utilizar? ¿Es posible completar los casilleros para que el dígito que quede sin utilizar sea otro?

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Olimpíada de Mayo 2022 N1 P2


Beto eligió seis de los nueve dígitos del $1$ al $9$ y escribió la lista, ordenada de menor a mayor, de todos los números de tres dígitos distintos que se pueden formar usando los dígitos que eligió.

En la lista de Beto, el número $317$ aparece en la posición $22$.

¿Qué número aparece en la posición $60$ de la lista de Beto? Dar todas las posibilidades.

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