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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots \}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para cualquier pareja de enteros positivos $a$ y $b$, se cumplen las siguientes dos condiciones:
  • $f(ab)=f(a)f(b)$, y
  • al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a+b)$ son iguales.

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Problema del día de Geometría:
Considere un triángulo $ABC$ rectángulo en $C$ y un punto $P$ a distancia $4$ de $A$, $7$ de $B$ y $1$ de $C$. ¿Cuáles son la menor y la mayor medida que puede tener $AC$?
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Problema del día de Ñandú:
Juan tiene tarjetas azules, blancas y rojas. En cada tarjeta hay escrito un número.
En las tarjetas azules están escritos todos los múltiplos de $7$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas blancas están escritos todos los múltiplos de $3$ entre $1$ y $50$.
En las tarjetas rojas están escritos todos los múltiplos de $5$ entre $1$ y $50$.
Juan arma y desarma números poniendo tres tarjetas siempre en el mismo orden: azul – blanca – roja.
¿Cuántos números múltiplos de $3$ puede obtener? Explica cómo los contaste.
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¡Arrancó la Olimpiada de Julio!


¡Ya arrancó la Olimpiada de Julio!




Primero que nada, les agradezco muchísimo su participación y todos los problemas que propusieron. Pueden participar igual aunque no hayan propuesto ningún problema. La prueba consta de $9$ problemas ordenados (aproximadamente!) por dificultad ascendente.



Duración de la prueba: $7$ días (del $25/07/24$ al $31/07/24$ inclusive)

Cada problema vale $7$ puntos



La prueba es individual, es para todo público, se pueden usar calculadoras y apuntes, no le metan el problema $9$ al ChatGPT (confirmadísimo que no lo puede hacer), bla bla bla... :roll:



Sus soluciones me la mandan a mí (por mensaje privado, ni se les ocurra por PedidosYa, ya sé que algunos tienen mi dirección.... :!: ). Para aquellos que propusieron problemas, recuerden que NO tienen que mandar las soluciones a sus propios problemas, ya reciben $7$ puntos automáticamente (salvo para @BrunZo).



Ahh casi me olvido: Los ganadores obtendrán memes personalizados de Julio Iglesias. 8-) :ugeek:



¡¡¡Muchos éxitos a todos!!!
Olimpiada_de_Julio.pdf


Juliooooooo.jpeg

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IMO Shortlist 2023 N8


Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}$ tales que$$f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b)$$se cumpla para todos $a,b\in \mathbb{Z}_{>0}$, donde $f^k(n)=f(f(\cdots f(n)\cdots ))$ denota la composición de $f$ consigo misma $k$ veces.

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IMO Shortlist 2023 N7


Sean $a,b,c,d$ enteros positivos tales que$$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.$$Determinar todos los valores posibles de $a+b+c+d$.

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IMO Shortlist 2023 N6


Una sucesión de enteros $a_0,a_1,a_2,\ldots$ se llama kawaii si $a_0=0$, $a_1=1$ y, para todo entero positivo $n$, se tiene que$$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0.$$Un entero se llama kawaii si pertenece a una secuencia kawaii. Supongamos que dos enteros positivos consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecen a la misma secuencia kawaii). Demostrar que $m$ es múltiplo de $3$ y que $\dfrac{m}{3}$ también es kawaii.

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IMO Shortlist 2023 N5


Sean $a_1<a_2<a_3<\cdots$ enteros positivos tales que $a_{k+1}$ divide a $2(a_1+a_2+\cdots +a_k)$ para todo $k\geq 1$. Supongamos que para infinitos primos $p$, existe un índice $k$ para el cual $p$ divide a $a_k$. Demostrar que para todo entero positivo $n$, existe un índice $k$ para el cual $n$ divide a $a_k$.

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