- Problema del día
Problema del día de OMA:
Ana y Beto juegan un juego. Ellos escriben en un pizarrón fracciones de la forma $\frac{1}{n}$ con $n$ entero positivo. La primera en jugar es Ana. En cada turno, Ana escribe una sola fracción, y Beto, escribe una fracción en su primer turno, dos fracciones en su segundo turno, tres fracciones en su tercer turno, y así siguiendo. El objetivo de Beto es que, al cabo de algún turno, la suma de todas las fracciones del pizarrón sea igual a un número entero. Determinar si Ana puede evitarlo.
$10 \; PUNTOS$
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo con $AB=13$, $BC=15$ y $AC=9$. Sea $r$ la recta paralela a $BC$ trazada por $A$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ corta a $r$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ corta a $r$ en $F$. Calcular la medida del segmento $EF$.
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Problema del día de Ñandú:
En un tablero de $7$ filas se escriben los números impares siguiendo el esquema de la figura:\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc}\hline
1 & 23 & 25 & 47 & 49 & 71 & & 95 & 97 & 119 & 121 & 143 & 145 & & \cdots & \quad \\
\hline
3 & 21 & 27 & 45 & 51 & & 73 & 93 & 99 & 117 & 123 & 141 & & 167 & \cdots & \quad \\
\hline
5 & 19 & 29 & 43 & & 69 & 75 & 91 & 101 & 115 & 125 & & 147 & 165 & \cdots & \quad \\
\hline
7 & 17 & 31 & & 53 & 67 & 77 & 89 & 103 & 113 & & 139 & 149 & 163 & \cdots & \quad \\
\hline
9 & 15 & & 41 & 55 & 65 & 79 & 87 & 105 & & 127 & 137 & 151 & 161 & \cdots & \quad \\
\hline
11 & & 33 & 39 & 57 & 63 & 81 & 85 & & 111 & 129 & 135 & 153 & 159 & \cdots & \quad \\
\hline
& 13 & 35 & 37 & 59 & 61 & 83 & & 107 & 109 & 131 & 133 & 155 & 157 & \cdots & \quad \\
\hline
\end{array}$a)$ ¿Cuáles son los números que se escriben en la columna $26$?
$b)$ ¿En qué fila y columna se escribe el $631$?
$c)$ ¿En qué fila y columna se escribe el $2021$?
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Intercolegial 2023 N3 P3
- Publicado por: Gianni De Rico » Jue 18 May, 2023 8:59 pm
- Foro: Geometría
Dos circunferencias son tangentes entre sí y tangentes a dos rectas que forman un ángulo de $60^\circ$, como se ve en la figura. Si el radio de la circunferencia menor es igual a $5$, calcular el radio de la circunferencia mayor.
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Intercolegial 2023 N3 P2
- Publicado por: Gianni De Rico » Jue 18 May, 2023 8:59 pm
- Foro: Teoría de Numeros
Para un número entero positivo $n$, sean $a=\dfrac{n}{3}$ y $b=3\cdot n$. Hallar la cantidad de enteros $n$ tales que $a$ y $b$ son números enteros de tres dígitos.
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Intercolegial 2023 N3 P1
- Publicado por: Gianni De Rico » Jue 18 May, 2023 8:59 pm
- Foro: Teoría de Numeros
En una circunferencia se marcaron $5$ puntos que se numeraron $1,2,3,4,5$, como se ve en la figura. Un conejo salta de un punto a otro en sentido antihorario, comenzando en el $5$. Cuando sale desde un número impar salta al punto siguiente, cuando sale desde un número par salta dos lugares. El conejo comenzó en el punto $5$. Determinar en qué lugar se encuentra después de $2023$ saltos.
Aclaración. Los primeros saltos del conejo son $5,1,2,4,1,\ldots$
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Intercolegial 2023 N2 P3
- Publicado por: Gianni De Rico » Jue 18 May, 2023 8:59 pm
- Foro: Geometría
Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat AC=90^\circ$ y $B\widehat CA=34^\circ$. Desde el vértice $A$ se trazan la altura y la mediana que cortan a la hipotenusa en $D$ y en $E$, respectivamente. Calcular la medida del ángulo $D\widehat AE$.
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Intercolegial 2023 N2 P2
- Publicado por: Gianni De Rico » Jue 18 May, 2023 8:59 pm
- Foro: Teoría de Numeros
Hallar todos los tríos $(p,q,r)$ de números primos, con $q$ menor que $r$, que satisfacen$$p\cdot (q+r)=215.$$Aclaración. Considerar $p,q,r$ positivos.
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