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Un patrón en cruz es una distribución de los nueve dígitos $1,2,\ldots ,9$ formando una $X$ como en el siguiente ejemplo:\begin{matrix}1 & & & & 2 \\
& 3 & & 4 & \\
& & 5 & & \\
& 6 & & 7 & \\
8 & & & & 9
\end{matrix}Diremos que un patrón en cruz es balanceado si las sumas de los cinco números de cada diagonal son iguales. Nuestro ejemplo es balanceado porque $1+3+5+7+9=2+4+5+6+8$.
Calcular cuántos patrones en cruz son balanceados.

Consideramos la sucesión de números enteros $(x_n)$ tal que

$x_0=2$, $x_1=3$ y $x_{n+2}=7x_{n+1}-x_n+280$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que para todo entero positivo $n$ la suma de los divisores positivos del número $x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+626$ es divisible por $24$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(xy+f(x))=xf(y)$$para todos $x,y\in \mathbb{R}$.

Juli y Mica juegan al siguiente juego. Juli elige $100$ números reales no negativos, no necesariamente distintos $x_1,x_2,\dots ,x_{100}$ cuya suma sea $1$, y le dice los números a Mica. Mica agrupa los números en $50$ parejas a su elección, calcula la multiplicación de los dos números en cada pareja, y escribe en el pizarrón el mayor de estos $50$ resultados. Juli quiere que el número escrito sea lo mayor posible, mientras que Mica quiere que sea lo menor posible. ¿Qué número resultará escrito si los dos juegan de manera óptima?

Sean $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ dos circunferencias de radios distintos, con $\Gamma _1$ la de radio más chico. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos distintos $A$, y $B$. Sea $C$ en $\Gamma _1$ y $D$ en $\Gamma _2$ tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. Se sabe que la recta $CB$ corta a $\Gamma_2$ en $F$ de modo que $B$ está entre $C$ y $F$, y la recta $DB$ corta a $\Gamma _1$ en $E$ de modo que $B$ está entre $D$ y $E$. Las mediatrices de $CD$ y $EF$ se cortan en $P$.

a) Demostrar que $E\hat{P}F=2C\hat{A}E$.

b) Demostrar que $AP^2=CA^2+PE^2$.

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