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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Al inicio se tiene un tablero de $7\times 7$ que tiene todas sus casillas blancas. Una operación consiste en escoger tres casillas consecutivas de una misma fila o una misma columna y cambiar el color de cada una de esas tres casillas: una casilla blanca cambia a negra y una casilla negra cambia a blanca. Determine como mínimo cuántas operaciones son necesarias para que el tablero quede de la siguiente forma:
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.
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Problema del día de Ñandú:
En la figura:
n1 prov 2017 p2.jpg
$ABCD$ es un rectángulo.
$AMD$ y $CNB$ son triángulos iguales.
$AN=2AM,~DM=\frac{3}{4}AD$.
Perímetro de $ABCD=238\text{ cm}$.
Perímetro de $AMD=84\text{ cm}$.
¿Cuál es el perímetro de $ANCM$?
¿Cuál es el perímetro de $ABCM$?
¿Cuánto miden los lados del rectángulo $ABCD$?
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  • Últimos temas

Selectivo de IMO 2021 - Problema 4


Un patrón en cruz es una distribución de los nueve dígitos $1,2,\ldots ,9$ formando una $X$ como en el siguiente ejemplo:\begin{matrix}1 & & & & 2 \\
& 3 & & 4 & \\
& & 5 & & \\
& 6 & & 7 & \\
8 & & & & 9
\end{matrix}Diremos que un patrón en cruz es balanceado si las sumas de los cinco números de cada diagonal son iguales. Nuestro ejemplo es balanceado porque $1+3+5+7+9=2+4+5+6+8$.
Calcular cuántos patrones en cruz son balanceados.

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 5


Consideramos la sucesión de números enteros $(x_n)$ tal que

$x_0=2$, $x_1=3$ y $x_{n+2}=7x_{n+1}-x_n+280$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que para todo entero positivo $n$ la suma de los divisores positivos del número $x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+626$ es divisible por $24$.

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 6


Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(xy+f(x))=xf(y)$$para todos $x,y\in \mathbb{R}$.

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 3


Juli y Mica juegan al siguiente juego. Juli elige $100$ números reales no negativos, no necesariamente distintos $x_1,x_2,\dots ,x_{100}$ cuya suma sea $1$, y le dice los números a Mica. Mica agrupa los números en $50$ parejas a su elección, calcula la multiplicación de los dos números en cada pareja, y escribe en el pizarrón el mayor de estos $50$ resultados. Juli quiere que el número escrito sea lo mayor posible, mientras que Mica quiere que sea lo menor posible. ¿Qué número resultará escrito si los dos juegan de manera óptima?

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 2


Sean $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ dos circunferencias de radios distintos, con $\Gamma _1$ la de radio más chico. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos distintos $A$, y $B$. Sea $C$ en $\Gamma _1$ y $D$ en $\Gamma _2$ tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. Se sabe que la recta $CB$ corta a $\Gamma_2$ en $F$ de modo que $B$ está entre $C$ y $F$, y la recta $DB$ corta a $\Gamma _1$ en $E$ de modo que $B$ está entre $D$ y $E$. Las mediatrices de $CD$ y $EF$ se cortan en $P$.



a) Demostrar que $E\hat{P}F=2C\hat{A}E$.



b) Demostrar que $AP^2=CA^2+PE^2$.

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