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Dos circunferencias son tangentes entre sí y tangentes a dos rectas que forman un ángulo de $60^\circ$, como se ve en la figura. Si el radio de la circunferencia menor es igual a $5$, calcular el radio de la circunferencia mayor.

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Para un número entero positivo $n$, sean $a=\dfrac{n}{3}$ y $b=3\cdot n$. Hallar la cantidad de enteros $n$ tales que $a$ y $b$ son números enteros de tres dígitos.

En una circunferencia se marcaron $5$ puntos que se numeraron $1,2,3,4,5$, como se ve en la figura. Un conejo salta de un punto a otro en sentido antihorario, comenzando en el $5$. Cuando sale desde un número impar salta al punto siguiente, cuando sale desde un número par salta dos lugares. El conejo comenzó en el punto $5$. Determinar en qué lugar se encuentra después de $2023$ saltos.
Aclaración. Los primeros saltos del conejo son $5,1,2,4,1,\ldots$

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Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat AC=90^\circ$ y $B\widehat CA=34^\circ$. Desde el vértice $A$ se trazan la altura y la mediana que cortan a la hipotenusa en $D$ y en $E$, respectivamente. Calcular la medida del ángulo $D\widehat AE$.

Hallar todos los tríos $(p,q,r)$ de números primos, con $q$ menor que $r$, que satisfacen$$p\cdot (q+r)=215.$$Aclaración. Considerar $p,q,r$ positivos.

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