OMA Foros

Problema del día de OMA:
Consideramos los pares [math](a,b) donde [math]a y [math]b son enteros positivos. Las operaciones permitidas son

[math](a,b) \rightarrow (a,2b);
[math](a,b) \rightarrow (2a,b);
[math](a,b) \rightarrow (a-b,b) si [math]a>b;
[math](a,b) \rightarrow (a,b-a) si [math]a<b.

Determinar si a partir de [math](1,1), mediante alguna secuencia de operaciones permitidas, se puede obtener
a) el par [math](2005,2010);
b) el par [math](2004,2006).
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Problema del día de Geometría:
$ABC$ es un triángulo con incentro $I$. Se construyen puntos $P$ y $Q$ tales que $AB$ es bisectriz de $\angle{IAP}$, $AC$ es bisectriz de $\angle{QAI}$ y $\angle{PBI}+\angle{IAB}=\angle{QCI}+\angle{IAC}=90°$. Las rectas $IP$, $IQ$ cortan $AB$, $AC$ en $K$, $L$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $APK$ y $AQL$ se cortan en $A$ y en $R$. Demostrar que $R$ pertenece a la recta que une los puntos medios de $BC$ y $KL$.
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Problema del día de Ñandú:
Luis escribe todos los números menores que $10000$ que cumplen estas $3$ condiciones.

• No tienen dígitos repetidos.
• Ninguno de sus dígitos es igual a cero.
• Todos su dígitos son pares.

¿Cuántos números escribe Luis? Explica cómo lo contaste.
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