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Resultados FOFO 12 años


Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 6 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 31 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 14 y 30 puntos), una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!
Spoiler: mostrar
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{Martín Lupin} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BrunZo} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{NicoRicci} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{5} & \text{...} &\textbf{Medalla Especial}\\ \hline
\text{6} & \text{FabriATK} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Adriano Guinart} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{8} & \text{Tob.Rod} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{fran :)} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{lola.m} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicidades a todos!

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Se tienen $2017$ cajas en una fila numeradas del $1$ al $2017$. En cada una de ellas se pondrán algunas bolitas de colores de manera que cada bolita sea de alguno de $2017$ colores distintos. Un acomodo de bolitas en las cajas es confiable si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) Si dos bolitas de colores distintos $A$ y $B$ están en cajas distintas no adyacentes entonces hay una caja entre estas dos que contiene una bolita de color $A$ o de color $B$.
(b) Si dos bolitas de colores distintos $A$ y $B$ están en cajas distintas no adyacentes entonces no hay una caja entre estas dos que contenga una bolita de color $A$ y otra de color $B$.
(c) Cada color tiene al menos dos bolitas de dicho color que están en cajas distintas.
Finalmente, definimos $\gamma_k$ como el número de colores distintos en la caja $k$. De entre todos los acomodos confiables encontrar el máximo valor de $\gamma_1+\gamma_2+\ldots+\gamma_{2017}$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
El el triángulo [math], [math]. El incírculo de [math] tiene centro [math] y toca a los lados [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Sean [math] y [math] las reflexiones de [math] y [math] con respecto a [math]. Probar que [math] están sobre una misma circunferencia.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Alicia tiene $6$ pañuelos, uno de cada color: azul, blanco, gris, negro, rojo y verde.
Quiere guardar los $6$ pañuelos en $3$ cajas.
Tiene una caja de tapa cuadrada, otra de tapa triangular y otra de tapa ovalada.
Ninguna caja debe quedar vacía y el pañuelo verde debe estar en la caja de tapa ovalada.
¿De cuántas maneras distintas puede guardar los $6$ pañuelos? Explica cómo los contaste.
Link al tema.


  • Últimos temas

Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 6


Para cada entero positivo $n$ consideramos el polinomio de coeficientes reales, de $2n+1$ términos,$$P(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$donde todos los coeficientes son números reales que satisfacen $100\leq a_i\leq 101$ para $0\leq i\leq 2n$. Hallar el menor valor posible de $n$ tal que el polinomio puede tener al menos una raíz real.

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Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 5


Hallar todos los pares de números enteros positivos $x,y$ tales que$$x^3+y^3=4(x^2y+xy^2-5).$$

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Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 4


Consideramos un tablero cuadrado de $1000\times 1000$ con $1000000$ casillas de $1\times 1$. Una ficha colocada en una casilla amenaza a todas las casillas del tablero que están adentro de un cuadrado de $19\times 19$ con centro en la casilla donde está colocada la fichas, y de lados paralelos a los del tablero, excepto las casillas de su misma fila y las de su misma columna. Determinar el máximo número de fichas que se pueden colocar en el tablero de modo que no haya dos que se amenacen.

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Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 3


Dado un cuadrado $ABCD$ consideremos un triángulo equilátero $KLM$, cuyos vértices $K$, $L$ y $M$ pertenecen a los lados $AB$, $BC$ y $CD$ respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de los lados $KL$ para todos los posibles triángulos equiláteros $KLM$.

Nota. Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que satisfacen una propiedad.

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Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 2


Determinar todos los números enteros positivos $n$ para los que se pueden escribir en algún orden los $n$ números enteros entre $1$ y $n$ inclusive, digamos $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, con la propiedad de que el número $x_1+x_2+\ldots +x_k$ sea divisible por $k$, para todo $1\leq k\leq n$. Es decir, que
$1$ divide a $x_1$, $2$ divide a $x_1+x_2$, $3$ divide a $x_1+x_2+x_3$,
y así siguiendo hasta que $n$ divide a $x_1+x_2+\ldots +x_n$.

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