Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2006


Problema 1
Sea [math] un triángulo y sea [math] el centro de su circunferencia inscrita. Sea [math] un punto en el interior del triángulo tal que
[math].
Demuestre que [math] y que vale la igualdad si y sólo si [math].

Problema 2
Decimos que una diagonal de un polígono regular P de 2006 lados es un segmento bueno si sus extremos dividen al borde de P en dos partes, cada una de ellas
formada por un número impar de lados. Los lados de P también se consideran segmentos buenos.
Supongamos que P se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que ningún par de ellas se corta en el interior de P. Encuentre el máximo número de
triángulos isósceles que puede haber tales que dos de sus lados son segmentos buenos.

Problema 3
Determine el menor número real [math] tal que la desigualdad
[math]
se cumple para todos los números reales [math].

Problema 4
Determine todas las parejas de enteros [math] tales que
[math].

Problema 5
Sea [math] un polinomio de grado [math] con coeficientes enteros y sea [math] un entero positivo. Considere el polinomio [math], donde [math] aparece [math] veces. Demuestre que hay a lo sumo [math] enteros [math] tales que [math].

Problema 6
Asignamos a cada lado [math] de un polígono convexo [math] el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a [math] como uno de sus lados y que está contenido en [math].
Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de [math] es mayor o igual que el doble del área de [math].