Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2004


Problema 1
Sea [math] un triángulo acutángulo con [math]. La circunferencia de diámetro [math] corta a los lados [math] y [math] en [math] y [math], respectivamente. Sea [math] el punto medio de [math]. Las bisectrices de los ángulos [math] y [math] se cortan en [math]. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos [math] y [math] tienen un punto común que pertenece al lado [math].

Problema 2
Encontrar todos los polinomios [math] con coeficientes reales que satisfacen la igualdad
[math]
para todos los números reales [math] tales que [math].

Problema 3
Un gancho es una figura formada por seis cuadrados unitarios como se muestra en el diagrama
[math]
o cualquiera de las figuras que se obtienen de ésta rotándola o reflejándola.

Determinar todos los rectángulos [math] que pueden cubrirse con ganchos de modo que
  • el rectángulo se cubre sin huecos y sin superposiciones;
  • ninguna parte de ningún gancho sobresale del rectángulo.


Problema 4
Sea [math] un entero. Sean [math] números reales positivos tales que
[math].
Demostrar que [math] son las medidas de los lados de un triángulo para todos los [math] con [math].

Problema 5
En un cuadrilátero convexo [math] la diagonal [math] no es la bisectriz ni del ángulo [math] ni del ángulo [math]. Un punto [math] en el interior de [math] verifica
[math] y [math].
Demostrar que los vértices del cuadrilátero [math] pertenecen a una misma circunferencia si y solo si [math].

Problema 6
Un entero positivo es alternante si en su representación decimal en toda pareja de dígitos consecutivos uno es par y el otro es impar.
Encontrar todos los enteros positivos [math] tales que [math] tiene un múltiplo que es alternante.