Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 1998 • Nivel 3


Problema 1
Jorge escribe una lista con una cantidad par de números enteros, no todos iguales a $0$ (puede haber números repetidos). Demostrar que Martín puede tachar un número de la lista, a su elección, para que a Jorge le sea imposible separar los restantes números en dos grupos de modo tal que la suma de todos los números de un grupo sea igual a la suma de todos los números del otro grupo.

Problema 2
Sea un cuadrilátero [math] que posee una circunferencia inscrita y sean [math], [math], [math], [math] los puntos de tangencia de los lados [math], [math], [math] y [math], respectivamente. En cada uno de los triángulos [math], [math], [math] y [math] se considera el punto de intersección de las alturas (es decir, el ortocentro del triángulo). Demostrar que estos cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo.

Problema 3
Dados dos enteros $m\geq 2$ y $n\geq 2$ consideramos dos tipos de sucesiones de longitud $m\cdot n$ formadas exclusivamente por $0$ y $1$:
Las sucesiones de TIPO 1 son todas las que verifican las siguientes dos condiciones:
  • $a_ka_{k+m} = 0$ para todo $k = 1, 2, 3, ...$
  • Si $a_ka_{k+1} = 1$, entonces $k$ es un múltiplo de $m$.
Las sucesiones de TIPO 2 son todas las que verifican las siguientes dos condiciones:
  • $a_ka_{k+n} = 0$ para todo $k = 1, 2, 3, ...$
  • Si $a_ka_{k+1} = 1$, entonces $k$ es un múltiplo de $n$.
Demostrar que la cantidad de sucesiones del tipo 1 es igual a la cantidad de sucesiones del tipo 2.

Problema 4
Determinar todos los valores posibles de la expresión$$x-\left [\frac{x}{2}\right ]-\left [\frac{x}{3}\right ]-\left [\frac{x}{6}\right ]$$al variar $x$ en los números reales.

Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

Problema 5
Sea [math] un triángulo isósceles y rectángulo de hipotenusa [math]. Determinar las posiciones de los puntos [math] en los lados [math] respectivamente, de modo que el triángulo [math] es isósceles, rectángulo, y de área mínima.

Problema 6
Dados [math] números reales no negativos, [math], tales que la suma de los [math] números es menor o igual que [math] y la suma de los cuadrados de los [math] números es mayor o igual que [math], demostrar que entre los [math] números se pueden elegir tres cuya suma es mayor o igual que [math].