Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2009


Problema 1
Sea [math] un entero positivo y sean [math] ([math]) enteros distintos del conjunto [math] tales que [math] divide a [math] para [math]. Demostrar que [math] no divide a [math].

Problema 2
Sea [math] un triángulo cuyo circuncentro es [math]. Los puntos [math] y [math] pertenecen a los segmentos [math] y [math] respectivamente. Sean [math] y [math] los puntos medios de los segmentos [math] y [math] respectivamente, y sea [math] la circunferencia pasando por [math] y [math]. Supongamos que la recta [math] es tangente a la circunferencia [math]. Demostrar que [math].

Problema 3
Supongamos que [math] es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tales que las subsecuencias [math] y [math] son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la secuencia [math] es de hecho una progresión aritmética.

Problema 4
Sea [math] un triángulo con [math]. Las bisectrices de [math] y [math] cortan a los lados [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Sea [math] el incentro de [math]. Supongamos que [math]. Hallar todos los posibles valores de [math].

Problema 5
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $a,b\in\mathbb{N}$ existe un triángulo no degenerado de lados$$a,\text{ }f(b),\text{ y }f(b+f(a)-1)$$

Problema 6
Sean [math] enteros positivos distintos y [math] un conjunto de [math] enteros positivos que no contiene a [math]. Un saltamontes salta por la recta real, empezando desde el punto [math] y haciendo [math] saltos hacia la derecha con largos [math] en algún orden. Demostrar que se puede elegir el orden de los saltos de modo tal que el saltamontes nunca toque un punto de [math].