Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2012-2013 • Marzo 2013 • Nivel Mayor


Problema 1
En el pizarrón están escritos algunos números enteros positivos. La suma de cualesquiera dos de ellos es una potencia de dos con exponente entero (como [math]). Determinar el máximo número de enteros distintos que puede haber en el pizarrón. (3 puntos)

Problema 2
Inicialmente hay un varón y una mujer sentados en un banco largo. A continuación, otros [math] chicos se sientan, uno por uno, en el mismo banco; cada uno se ubica entre dos chicos que ya están sentados con anterioridad. Diremos que una mujer es valiente si se sienta entre dos varones, y diremos que un varón es valiente si se sienta entre dos mujeres. Al final, resulta que los varones y las mujeres quedaron alternados en el banco. Determinar si con esta información es posible conocer con certeza el número de chicos valientes (varones más mujeres). (4 puntos)

Problema 3
Diremos que un punto del plano es un nodo si sus dos coordenadas son enteras. Consideramos un triángulo que tiene sus tres vértices en nodos y contiene por lo menos dos nodos en su interior. Demostrar que hay dos nodos interiores al triángulo tales que la recta que pasa por ellos o bien pasa por un vértice o bien es paralela a un lado del triángulo. (6 puntos)

Problema 4
Los números enteros desde [math] hasta [math] están escritos alrededor de una circunferencia, no necesariamente en orden creciente. Determinar si puede ocurrir que los valores absolutos de las diferencias entre dos números consecutivos sean todos mayores o iguales que [math] y menores o iguales que [math]. (6 puntos)

Problema 5
En el plano, inicialmente sin colorear, se eligen tres puntos y se los colorea de rojo, azul y amarillo. A continuación en cada paso se eligen dos puntos de colores distintos. Luego, se colorea otro punto con el tercer color de modo que estos tres puntos formen un triángulo equilátero con sus vértices coloreados en "rojo, azul, amarillo" en el sentido de las agujas del reloj. Un punto que ya fue marcado se puede marcar nuevamente, de modo que ese punto puede tener más de un color. Demostrar que para cualquier número de pasos, todos los puntos que contienen el mismo color pertenecen a la misma recta. (7 puntos)

Problema 6
Se tienen cinco números reales positivos distintos. Se sabe que la suma total de los cuadrados de estos números es igual a la suma de diez productos de pares de esos mismos números.

a) Demostrar que podemos elegir tres números reales tales que no sea posible construir un triángulo con las longitudes de sus lados iguales a esos tres números. (4 puntos)

b) Demostrar que la cantidad de tales conjuntos de tres números es por lo menos seis (los conjuntos de tres números que tienen los mismos números en otro orden se consideran el mismo conjunto). (5 puntos)

Problema 7
El rey decidió reducir su gabinete que consiste de [math] genios. Los colocó en una fila y les colocó sombreros con números enteros de [math] a [math], no necesariamente en ese orden (escondió un sombrero). Cada genio puede ver los números de los sombreros de todos los que están adelante suyo, pero no puede ver el propio ni los que están detrás suyo. Por orden del rey, comenzando por el final de la fila, cada genio dice un entero de [math] a [math] de modo que todos los genios lo oigan. Ningún número se puede repetir dos veces. Al final, cada genio que no haya dicho el número de su propio sombrero es expulsado del gabinete. Los genios conocen las reglas y pueden desarrollar entre ellos estrategias antes de que les repartan los sombreros.

a) Determinar si los genios pueden desarrollar una estrategia que les garantice que más de [math] de ellos permanezcan en el gabinete. (5 puntos)

b) Determinar si los genios pueden desarrollar una estrategia que les garantice que por lo menos [math] de ellos permanezcan en el gabinete. (7 puntos)