Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2000


Problema 1
Dos circunferencias [math] y [math] se intersecan en [math] y [math]. Sea [math] la recta tangente a estas dos circunferencias en [math] y [math] respectivamente, con [math] es más cercano a [math] que [math]. Sea [math] la recta paralela a [math] por [math], con [math] en [math] y [math] en [math]. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math], las rectas [math] y [math] en [math], y las rectas [math] y [math] en [math]. Probar que [math].

Problema 2
Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $abc=1$. Demostrar que $$\left (a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c}\right )\left (c-1+\frac{1}{a}\right )\leqslant 1$$

Problema 3
Sea [math] un real y [math] un entero. Se tienen [math] puntos, no todos concurrentes, en una recta. Una "movida" consiste de elegir dos puntos [math] y [math] en la recta (con [math] a la derecha de [math]) y reemplazar [math] por un punto [math], en la recta, a la derecha de [math], tal que [math].

Encontrar todos los [math] (en función de [math]) para los cuales los puntos se pueden mover arbitrariamente mucho a la derecha.

Problema 4
Un mago tiene $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$. Las reparte en $3$ cajas, una roja, una azul y una blanca, de forma que cada caja tenga al menos una carta. Un espectador elige dos cajas distintas, toma una carta de cada una y dice la suma de los números escritos en las cartas. Con esta información, el mago adivina correctamente el color de la caja no elegida por el espectador.
¿De cuántas maneras puede el mago repartir las cartas de forma tal que esto siempre sea posible, sin importar qué cartas elija el espectador?

Problema 5
Determinar si existe un entero positivo $n$ tal que $n$ tiene exactamente $2000$ divisores primos distintos y $n$ divide a $2^n+1$.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $H_1,H_2,H_3$ los pies de las alturas desde $A,B,C$ respectivamente. El incírculo de $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en $T_1,T_2,T_3$ respectivemente. Sean $\ell _1,\ell _2,\ell _3$ las rectas simétricas a $H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1$ respecto a $T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1$ respectivamente. Demostrar que las rectas $\ell _1,\ell _2,\ell _3$ forman un triángulo cuyos vértices están sobre el incírculo de $ABC$.