Problema 1
Sea
[math]ABC un triángulo acutángulo con alturas
[math]AD,
[math]BE y
[math]CF, y sea
[math]O el centro de su circunferencia circunscrita. Demostrar que los segmentos
[math]OA,
[math]OF,
[math]OB,
[math]OD,
[math]OC,
[math]OE dividen al triángulo
[math]ABC en tres pares de triángulos de igual área.
Problema 2
Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{n^2+1}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor ^2+2}$ es un entero.
(Aquí, $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $r$.)
Problema 3
Para $2k$ números reales $a_1,a_2,\ldots ,a_k,b_1,b_2,\ldots ,b_k$, definimos la sucesión de números $X_n$ por $X_n=\sum \limits _{i=1}^k\lfloor a_in+b_i\rfloor$.
Si la sucesión $X_n$ es una progresión aritmética, demostrar que $\sum \limits _{i=1}^ka_i$ debe ser un entero.
(Aquí, $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $r$.)
Problema 4
Sean
[math]a y
[math]b enteros positivos, y sean
[math]A y
[math]B conjuntos finitos de enteros que satisfacen:
(i)
[math]A y
[math]B son disjuntos;
(ii) si un entero
[math]i pertenece a
[math]A o a
[math]B, entonces
[math]i+a pertenece a
[math]A o
[math]i-b pertenece a
[math]B.
Probar que
[math]a|A| = b|B|. (Aquí
[math]|X| denota el número de elementos en el conjunto
[math]X.)
Problema 5
Sea
[math]ABCD un cuadrilátero inscripto en una circunferencia
[math]\omega, y sea
[math]P un punto en la prolongación de
[math]AC tal que
[math]PB y
[math]PD son tangentes a
[math]\omega. La tangente en
[math]C intersecta a
[math]PD en
[math]Q y a la recta
[math]AD en
[math]R. Sea
[math]E el segundo punto de intersección entre
[math]AQ y
[math]\omega. Probar que
[math]B,E,R son colineales.