Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Cuenca del Pacífico • 2013


Problema 1
Sea [math] un triángulo acutángulo con alturas [math], [math] y [math], y sea [math] el centro de su circunferencia circunscrita. Demostrar que los segmentos [math], [math], [math], [math], [math], [math] dividen al triángulo [math] en tres pares de triángulos de igual área.

Problema 2
Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{n^2+1}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor ^2+2}$ es un entero.

(Aquí, $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $r$.)

Problema 3
Para $2k$ números reales $a_1,a_2,\ldots ,a_k,b_1,b_2,\ldots ,b_k$, definimos la sucesión de números $X_n$ por $X_n=\sum \limits _{i=1}^k\lfloor a_in+b_i\rfloor$.
Si la sucesión $X_n$ es una progresión aritmética, demostrar que $\sum \limits _{i=1}^ka_i$ debe ser un entero.

(Aquí, $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $r$.)

Problema 4
Sean [math] y [math] enteros positivos, y sean [math] y [math] conjuntos finitos de enteros que satisfacen:
(i) [math] y [math] son disjuntos;
(ii) si un entero [math] pertenece a [math] o a [math], entonces [math] pertenece a [math] o [math] pertenece a [math].
Probar que [math]. (Aquí [math] denota el número de elementos en el conjunto [math].)

Problema 5
Sea [math] un cuadrilátero inscripto en una circunferencia [math], y sea [math] un punto en la prolongación de [math] tal que [math] y [math] son tangentes a [math]. La tangente en [math] intersecta a [math] en [math] y a la recta [math] en [math]. Sea [math] el segundo punto de intersección entre [math] y [math]. Probar que [math] son colineales.