Problema 2
En un triángulo
[math]ABC, sea
[math]H el pie de la altura trazada desde
[math]A. La bisectriz del ángulo
[math]B corta al lado
[math]AC en
[math]E y el ángulo
[math]\angle BEA es de
[math]45 grados. Calcular la medida del ángulo
[math]\angle EHC.
Problema 3
Para cada entero positivo
[math]k sea
[math]d(k) el mayor número impar que divide a
[math]k. Si
[math]D(n)=d(1)+d(2)+\dots +d(n) y
[math]T(n)=1+2+\dots +n, demostrar que existen infinitos enteros positivos
[math]n para los cuales
[math]3D(n)=2T(n).
Problema 4
Se escriben en forma sucesiva enteros positivos
[math]a_1,a_2,a_3,\dots, con la siguiente condición: el número
[math]a_{n+1} que se elige a continuación de
[math]a_1,a_2,a_3,\dots,a_n NO se puede expresar como suma de los enteros anteriores, tomando cada uno de ellos una, varias o ninguna vez. Es decir,
[math]a_{n+1} NO es de la forma
[math]k_1a_1+k_2a_2+\dots+k_na_n con
[math]k_1,k_2,\dots,k_n enteros no negativos. ¿Es posible que este proceso sea infinito? Justificar.
Problema 5
Sea $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de los números racionales mayores que cero. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:
- $f(x+1)=f(x)+1$ para todo $x\in \mathbb{Q}^+$.
- $f(x^3)=f(x)^3$ para todo $x\in \mathbb{Q}^+$.
Problema 6
Sea $n$ un número natural. A cada subconjunto del conjunto $\{1,2,3,\dots,n\}$ se le asigna un número natural entre $1,2,3,\dots,n$. Demostrar que hay dos subconjuntos $A$ y $B$ a los que se les ha asignado un mismo número y además dicho número es el máximo de los que están en $A\cup B$ pero no están en $A\cap B$.
Aclaración: El conjunto vacío y $\{1,2,\dots,n\}$ son subconjuntos de $\{1,2,\dots,n\}$.