Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 1988


Problema 1
Consideremos dos circunferencias concéntricas de radios $r$ y $R$ con centro $O$ . Fijemos un punto $P$ en la circunferencia menor y consideremos una cuerda variable $AP$ de la circunferencia menor. Los puntos $B$ y $C$ yacen en la circunferencia mayor tales que $B$, $P$ y $C$ son colineales y $AP$ es perpendicular a $BC$.
  1. ¿Para qué valores del ángulo $\angle AOP$ es la suma $BC^2+CA^2+AB^2$ lo mayor posible?
  2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de $AC$ y $AB$ de al variar el ángulo $\angle AOP$?


Problema 3
Una función se define en los números enteros positivos por
  • $f(1)=1$; $f(3)=3$;
  • $f(2n)=f(n)$;
  • $f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)$;
  • $f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)$;
para todo entero positivo $n$.

Determinar el número de enteros positivos $n$ menores o iguales que $1988$ para los que $f(n)=n$.