Problema 1
Demostrar que para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1,m_2,\ldots ,m_k$ (no necesariamente distintos) tales que$$1+\frac{2^k-1}{n}=\left (1+\frac{1}{m_1}\right )\left (1+\frac{1}{m_2}\right )\ldots \left (1+\frac{1}{m_k}\right ).$$
Problema 2
Una configuración de
[math]4027 puntos del plano, de los cuales
[math]2013 son rojos y
[math]2014 azules, y no hay tres de ellos que sean colineales, se llama
colombiana. Trazando algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una colección de rectas es
buena para una configuración colombiana si se cumplen las dos siguientes condiciones:
- ninguna recta pasa por ninguno de los puntos de la configuración;
- ninguna región contiene puntos de ambos colores.
Hallar el menor valor de
[math]k tal que para cualquier configuración colombiana de
[math]4027 puntos hay una colección buena de
[math]k rectas.
Problema 3
Supongamos que el excírculo del triángulo
[math]ABC opuesto al vértice
[math]A es tangente al lado
[math]BC en el punto
[math]A_1. Análogamente, se definen los puntos
[math]B_1 en
[math]CA y
[math]C_1 en
[math]AB, utilizando los excírculos opuestos a
[math]B y
[math]C respectivamente. Supongamos que el circuncentro del triángulo
[math]A_1B_1C_1 pertenece a la circunferencia que pasa por los vértices
[math]A,
[math]B y
[math]C. Demostrar que el triángulo
[math]ABC es rectángulo.
El excírculo
del triángulo [math]ABC opuesto al vértice [math]A es la circunferencia que es tangente al segmento [math]BC, a la prolongación del lado [math]AB más allá de [math]B y a la prolongación del lado [math]AC más allá de [math]C. Análogamente se definen los excírculos opuestos a los vértices [math]B y [math]C.
Problema 4
Sea
[math]\triangle ABC un triángulo acutángulo con ortocentro
[math]H, y sea
[math]W un punto sobre el lado
[math]BC, estrictamente entre
[math]B y
[math]C. Los puntos
[math]M y
[math]N son los pies de las alturas desde
[math]B y
[math]C respectivamente. Se denota por
[math]\omega_1 la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo
[math]BWN, y por
[math]X el punto de
[math]\omega_1 tal que
[math]WX es diámetro de
[math]\omega_1. Análogamente, se denota por
[math]\omega_2 la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo
[math]CWM, y por
[math]Y el punto de
[math]\omega_2 tal que
[math]WY es diámetro de
[math]\omega_2. Demostrar que
[math]X,Y y
[math]H son colineales.
Problema 5
Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ el conjunto de los racionales mayores que cero. Sea $f:\mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{R}$ una función que satisface las tres siguientes condiciones:
- $f(x)f(y)\geq f(xy)$ para todos los $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$;
- $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ para todos los $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$;
- existe un número racional $a>1$ tal que $f(a)=a$.
Demostrar que $f(x)=x$ para todo $x\in \mathbb{Q}_{>0}$.
Problema 6
Sea $n\geq 3$ un número entero. Se considera una circunferencia en la que se han marcado $n+1$ puntos igualmente espaciados. Cada punto se etiqueta con uno de los números $0,1,\ldots ,n$, de manera que cada número se usa exactamente una vez. Dos distribuciones de etiquetas se consideran la misma si una se puede obtener de la otra por una rotación de la circunferencia. Una distribución de etiquetas se llama
bonita si, para cualesquiera cuatro etiquetas $a<b<c<d$, con $a+d = b+c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no corta a la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$.
Sea $M$ el número de distribuciones bonitas, y sea $N$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x+y\leq n$ y $\text{mcd}(x,y)=1$. Demostrar que$$M=N+1$$