Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2002


Problema 1
$S$ es el conjunto de todos los pares $(h,k)$ con $h,k$ enteros no negativos tales que $h+k<n$. Cada elemento de $S$ se colorea de rojo o azul, de forma que si $(h,k)$ es rojo y $h'\leqslant h$, $k'\leqslant k$, entonces $(h',k')$ también es rojo. Un subconjunto de $S$ de tipo $1$ tiene $n$ elementos azules con el primer miembro distinto y un subconjunto de $S$ de tipo $2$ tiene $n$ elementos azules con el segundo miembro distinto. Demostrar que hay la misma cantidad de subconjuntos de tipo $1$ que de tipo $2$.

Problema 2
Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, y sea $BC$ un diámetro de $\Gamma$. El punto $A$ de $\Gamma$ es tal que $\angle AOC>60°$. La cuerda $EF$ de $\Gamma$ es mediatriz del segmento $AO$. Sea $D$ el punto medio del menor arco $AB$ de $\Gamma$, la recta paralela a $AD$ que pasa por $O$ corta a $AC$ en el punto $J$. Demostrar que $J$ es el incentro del triángulo $CEF$.

Problema 3
Hallar todos los pares de enteros positivos $m,n\geq 3$ para los que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que$$\dfrac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$$es entero.

Problema 4
Sea $n>1$ un entero, y sean $d_1<d_2<\ldots <d_k$ los divisores positivos de $n$, de forma que $d_1=1$ y $d_k=n$. Sea $d=d_1d_2+d_2d_3+\ldots +d_{k-1}d_k$. Demostrar que $d<n^2$ y hallar todos los $n$ tales que $d$ divide a $n^2$.

Problema 5
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$(f(x)+f(y))(f(u)+f(v))=f(xu-yv)+f(xv+yu)$$ para todos $x,y,u,v\in \mathbb{R}$.

Problema 6
Hay $n>2$ circunferencias de radio $1$ en el plano tales que ninguna recta interseca a más de dos de ellos. Sean $O_1,O_2,\ldots ,O_n$ los centros de las circunferencias. Demostrar que$$\sum \limits_{i<j}\frac{1}{O_iO_j}\leqslant (n-1)\frac{\pi}{4}.$$