Problema 2
Pablo elige un entero positivo $n$ y escribe en el pizarrón los $2n+1$ números$$\frac{n}{1},\frac{n}{2},\frac{n}{3},\cdots ,\frac{n}{2n+1}$$(los denominadores aumentan de a $1$ por vez).
Laura elige dos números escritos por Pablo, $a$ y $b$, los borra y escribe el número $2ab-a-b+1$. Después de repetir este procedimiento $2n$ veces, en el pizarrón hay un solo número escrito. Determinar los posibles valores de este único número.
Problema 4
Enzo le dice a su hermana que si ella piensa un número con todos sus dígitos distintos y ordenados en forma creciente de izquierda a derecha, y luego multiplica por $9$ el número que pensó, él siempre sabe cuánto vale la suma de los dígitos del resultado de la multiplicación, aunque no sabe qué número pensó la hermana.
Decidir si Enzo miente o dice la verdad y explicar por qué.
Problema 5
Sea
[math]P un punto en el interior de un ángulo, que no pertenece a la bisectriz del mismo. Se consideran dos segmentos por
[math]P:
[math]AB y
[math]CD, con
[math]A y
[math]C en uno de los lados del ángulo,
[math]B y
[math]D en el otro lado del ángulo, tales que
[math]P es el punto medio de
[math]AB y
[math]CD es perpendicular a la bisectriz del ángulo. Demostrar que
[math]AB > CD.
Problema 6
Se tiene la sucesión $P(1),\, P(2),\, P(3),\,\ldots$ definida por las siguientes reglas:$$\begin{align*}
P(1)&=1&\\
P(2)&=P(1)+P(1)=2\\
P(3)&=P(2)+P(1)=3 \\
P(4)&=P(3)+P(2)=5\\
P(5)&=P(4)+P(2)=7
\end{align*}$$y en general;
- si $n>1$ es par, entonces$$P(n)=P(n-1)+P\left (\frac{n}{2}\right )$$
- si $n>1$ es impar, entonces$$P(n)=P(n-1)+P\left (\frac{n-1}{2}\right )$$
Demostrar que existe un valor de $n$, con $n>2000$, tal que $P(n)$ es multiplo de $7$.