Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2004 • Nivel 3


Problema 1
Para cada entero positivo $n$ consideramos la sucesión de $2004$ números enteros$$\left [n+\sqrt{n}\right ],\left [n+1+\sqrt{n+1}\right ],\left [n+2+\sqrt{n+2}\right ],\ldots ,\left [n+2003+\sqrt{n+2003}\right ]$$Determinar el menor entero $n$ tal que los $2004$ números de la sucesión son $2004$ enteros consecutivos.

Aclaración: Los corchetes indican la parte entera.

Problema 2
Determinar todos los enteros positivos $a,b,c,d$ tales que$$\begin{align*}a & >b \\ \\
a^2c & =b^2d \\ \\
ab+cd & =2^{99}+2^{101}
\end{align*}$$

Problema 3
Se colocan ceros y unos en cada casillero de un tablero rectangular. Se dice que un tablero así es variado si cada fila contiene al menos un [math] y al menos dos [math]. Dado [math], hallar todos los enteros [math] con la siguiente propiedad:

Las columnas de cada tablero variado de [math] filas y [math] columnas se pueden permutar de manera que en cada fila del nuevo tablero los [math] no formen un bloque (es decir, haya al menos dos [math] que están separados por uno o más [math]).

Problema 4
Determinar todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que cada casilla del tablero de $a\times b$ se puede colorear con rojo, azul o verde de manera que cada casilla roja tenga exactamente una vecina azul y una vecina verde, cada casilla azul tenga exactamente una vecina roja y una verde y cada casilla verde tenga exactamente una vecina roja y una azul.

Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.

Problema 5
El pentágono $ABCDE$ tiene $AB=BC$, $CD=DE$, $\angle ABC=120^\circ$, $\angle CDE=60^\circ$ y $BD=2$. Calcular el área del pentágono.

Problema 6
Decidir si es posible generar una sucesión infinita de números enteros positivos $a_n$ tal que en la sucesión no haya tres términos que estén en progresión aritmética y que para todo $n$ se verifique $\left |a_n-n^2\right |<\frac{n}{2}$.

Aclaración: Tres números $a$, $b$, $c$ están en progresión aritmética si y sólo si $2b=a+c$.