Problema 1
Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos del plano es
equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$ hay un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\mathcal{S}$ es
libre de centros si para cada tres puntos distintos $A,B,C$ en $\mathcal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.
- Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
- Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.
Problema 2
Determinar todas las ternas
[math](a,b,c) de enteros positivos tales que cada uno de los números
[math]ab-c,
[math]bc-a,
[math]ca-b es una potencia de
[math]2.
(Una potencia de [math]2 es un entero de la forma [math]2^n, donde [math]n es un entero no negativo.)
Problema 3
Sea
[math]ABC un triángulo acutángulo con
[math]AB > AC. Sea
[math]\Gamma su circunferencia circunscrita,
[math]H su ortocentro, y
[math]F el pie de la altura desde
[math]A. Sea
[math]M el punto medio del segmento
[math]BC. Sea
[math]Q el punto de
[math]\Gamma tal que
[math]\angle HQA = 90^{\circ} y sea
[math]K el punto de
[math]\Gamma tal que
[math]\angle HKQ = 90^{\circ}. Supongamos que los puntos
[math]A,
[math]B,
[math]C,
[math]K y
[math]Q son todos distintos y están sobre
[math]\Gamma en ese orden.
Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo
[math]KQH es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo
[math]FKM.
Problema 4
El triángulo
[math]ABC tiene circunferencia circunscrita
[math]\Omega y circuncentro
[math]O. Una circunferencia
[math]\Gamma de centro
[math]A corta al segmento
[math]BC en los puntos
[math]D y
[math]E tales que
[math]B,
[math]D,
[math]E y
[math]C son todos diferentes y están en la recta
[math]BC en este orden. Sean
[math]F y
[math]G los puntos de intersección de
[math]\Omega y
[math]\Gamma, tales que
[math]A,
[math]F,
[math]B,
[math]C y
[math]G están sobre
[math]\Omega en este orden. Sea
[math]K el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo
[math]BDF y el segmento
[math]AB. Sea
[math]L el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo
[math]CGE y el segmento
[math]CA.
Supongamos que las rectas
[math]FK y
[math]GL son distintas y se cortan en el punto
[math]X. Demostrar que
[math]X está en la recta
[math]AO.
Problema 5
Sea
[math]\mathbb{R} el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones
[math]f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que satisfacen la ecuación
[math]f\left(x + f(x+y)\right) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)
para todos los números reales
[math]x,
[math]y.
Problema 6
La sucesión de enteros
[math]a_1, a_2, \ldots satisface las siguientes condiciones:
(i)
[math]1 \leq a_j \leq 2015 para todo
[math]j \geq 1;
(ii)
[math]k + a_k \neq \ell + a_{\ell} para todo
[math]1 \leq k < \ell.
Demostrar que existen dos enteros positivos
[math]b y
[math]N tales que
[math]\left| \sum_{j=m+1}^{n} (a_j - b) \right| \leq 1007^2
para todos los enteros
[math]m y
[math]n que satisfacen
[math]n > m \geq N.