Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2015


Problema 1
Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos del plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$ hay un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A,B,C$ en $\mathcal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.
  1. Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
  2. Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.


Problema 2
Determinar todas las ternas [math] de enteros positivos tales que cada uno de los números [math], [math], [math] es una potencia de [math].
(Una potencia de [math] es un entero de la forma [math], donde [math] es un entero no negativo.)

Problema 3
Sea [math] un triángulo acutángulo con [math]. Sea [math] su circunferencia circunscrita, [math] su ortocentro, y [math] el pie de la altura desde [math]. Sea [math] el punto medio del segmento [math]. Sea [math] el punto de [math] tal que [math] y sea [math] el punto de [math] tal que [math]. Supongamos que los puntos [math], [math], [math], [math] y [math] son todos distintos y están sobre [math] en ese orden.
Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo [math] es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo [math].

Problema 4
El triángulo [math] tiene circunferencia circunscrita [math] y circuncentro [math]. Una circunferencia [math] de centro [math] corta al segmento [math] en los puntos [math] y [math] tales que [math], [math], [math] y [math] son todos diferentes y están en la recta [math] en este orden. Sean [math] y [math] los puntos de intersección de [math] y [math], tales que [math], [math], [math], [math] y [math] están sobre [math] en este orden. Sea [math] el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo [math] y el segmento [math]. Sea [math] el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo [math] y el segmento [math].
Supongamos que las rectas [math] y [math] son distintas y se cortan en el punto [math]. Demostrar que [math] está en la recta [math].

Problema 5
Sea [math] el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones [math] que satisfacen la ecuación
[math]
para todos los números reales [math], [math].

Problema 6
La sucesión de enteros [math] satisface las siguientes condiciones:
(i) [math] para todo [math];
(ii) [math] para todo [math].
Demostrar que existen dos enteros positivos [math] y [math] tales que
[math]
para todos los enteros [math] y [math] que satisfacen [math].