Problema 1
El triángulo
[math]BCF es rectángulo en
[math]B. Sea
[math]A el punto de la recta
[math]CF tal que
[math]FA = FB y
[math]F está entre
[math]A y
[math]C. Se elige el punto
[math]D de modo que
[math]DA = DC y
[math]AC es bisectriz del ángulo
[math]\angle DAB. Se elige el punto
[math]E de modo que
[math]EA = ED y
[math]AD es bisectriz del ángulo
[math]\angle EAC. Sea
[math]M el punto medio de
[math]CF. Sea
[math]X el punto tal que
[math]AMXE es un paralelogramo (con
[math]AM \parallel EX y
[math]AE \parallel MX). Demostrar que las rectas
[math]BD,
[math]FX y
[math]ME son concurrentes.
Problema 2
Determinar todos los enteros positivos
[math]n para los cuales es posible escribir en cada casilla de un tablero de
[math]n \times n una de las letras
[math]I,
[math]M y
[math]O, de manera tal que:
- en cada fila y en cada columna, un tercio de las entradas son [math]I, un tercio son [math]M y un tercio son [math]O; y
- en cada diagonal, si la cantidad de entradas de dicha diagonal es un múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas son [math]I, un tercio son [math]M y un tercio son [math]O.
Nota. Las filas y columnas de un tablero de [math]n \times n se numeran de [math]1 a [math]n siguiendo un orden natural. De esta forma cada casilla corresponde a un par de enteros positivos [math](i,j) con [math]1 \leq i,j \leq n. Para [math]n>1, el tablero tiene [math]4n-2 diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consiste de todas las casillas [math](i,j) para las cuales [math]i+j es una constante, y una diagonal del segundo tipo consiste de todas las casillas [math](i,j) para las cuales [math]i-j es una constante.
Problema 3
Sea
[math]P = A_1 A_2 \ldots A_k un polígono convexo en el plano. Los vértices
[math]A_1, A_2, \ldots, A_k tienen coordenadas enteras y están sobre una circunferencia. Sea
[math]S el área de
[math]P. Sea
[math]n un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de
[math]P son enteros divisibles por
[math]n. Probar que
[math]2S es un entero divisible por
[math]n.
Problema 4
Un conjunto de números enteros positivos se llama
fragante si contiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea
[math]P(n) = n^2 + n + 1. Determinar el menor número entero positivo
[math]b para el cual existe algún número entero no negativo
[math]a tal que el conjunto
[math]\{ P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b) \} es fragante.
Problema 5
En la pizarra está escrita la ecuación$$(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.
Problema 6
Se tienen
[math]n \geq 2 segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se interseca en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto interior en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará
[math]n-1 veces, en cada silbido cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hacia el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos.
Mafalda quiere colocar las ranas de forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.
[math]a) Demostrar que si
[math]n es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
[math]b) Demostrar que si
[math]n es par, Mafalda nunca lo logrará.