Competencias de Argentina • Selectivo de Ibero • 2016


Problema 1
En la sucesión [math] cada dígito es igual al último dígito de la suma de los cuatro dígitos previos de la sucesión. Determinar si los cuatro números [math], los cuatro seguidos y en ese orden, aparecen en la sucesión.

Problema 2
Sea [math] un trapecio de bases [math] y lados no paralelos [math] y [math]. Sobre las diagonales [math] y [math] sean [math] y [math] respectivamente los puntos tales que [math] biseca a [math] y [math] biseca a [math]. Demostrar que [math].

Problema 3
Sea [math] el conjunto de los números reales. Hallar todas las funciones [math] tales que, para todos [math] reales, se verifica
[math].


Problema 4
Demostrar que para todo número primo [math] y todo entero positivo [math] existe un número natural [math] tal que [math] contiene [math] dígitos consecutivos iguales.

Problema 5
Sea [math] un pentágono convexo con [math] y [math]. Los puntos [math] y [math] son los puntos medios de los segmentos [math] y [math] respectivamente, y los segmentos [math] y [math] se cortan en [math]. Demostrar que [math] es perpendicular a [math].

Problema 6
Un coleccionista tiene [math] monedas aparentemente iguales. Él sabe que son [math] auténticas y [math] falsas. Además sabe que todas las monedas auténticas son de igual peso y que las falsas tienen todas pesos distintos y cada una de ellas es más pesada que una moneda auténtica. Pero él no conoce el peso de ninguna moneda. Dispone de una balanza de platos que le permite comparar los pesos de cualesquiera dos grupos de monedas (la balanza le indica cuál de los dos grupos es más pesado o si ambos pesan lo mismo). Determinar el menor número de pesadas que son suficientes para identificar con certeza una moneda auténtica.