Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2016


Problema 1
Determine todos los números primos positivos $p,q,r,k$ tales que $pq+qr+rp = 12k+1$.

Problema 2
Encuentre todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones:
$x= \frac{1}{y^2+y-1}$
$y= \frac{1}{z^2+z-1}$
$z= \frac{1}{x^2+x-1}$


Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$, distinto de $A$ y de $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela por $A$ a la recta $PR$ corta a la recta $PJ$. Demuestre que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

Problema 4
Determine la mayor cantidad de alfiles que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. tal que no haya dos alfiles en la misma casilla y cada alfil sea amenazado como máximo por uno de los otros alfiles.
Nota: Un alfil amenaza a otro si ambos se encuentran en dos casillas distintas de una misma diagonal. El tablero tiene por diagonales las 2 diagonales principales y las paralelas a ellas.

Problema 5
Las circunferencias $C_1$ y $C_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $C_1$ y $C_2$ más cercana a $K$ toca a $C_1$ en $B$ y a $C_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$, y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, respectivamente, pruebe que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.

Problema 6
Sea $k$ un entero positivo y $a_1, a_2, \ldots, a_k$ dígitos. Pruebe que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1, a_2, \ldots, a_k, b_1, b_2, \ldots, b_k$, para ciertos dígitos $b_1, b_2, \ldots, b_k$.