Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2016


Problema 1
Determine todos los números primos positivos [math] tales que [math].

Problema 2
Encuentre todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones:
[math]
[math]
[math]


Problema 3
Sea [math] un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es [math]. Las tangentes a [math] por [math] y [math] se cortan en [math]. Sobre el arco [math] que no contiene a [math] se toma un punto [math], distinto de [math] y de [math], tal que la recta [math] corta a la recta [math] en [math]. Sean [math] el punto simétrico de [math] con respecto a la recta [math] y [math] el punto de intersección de las rectas [math] y [math]. Sean [math] el punto medio de [math] y [math] el punto donde la recta paralela por [math] a la recta [math] corta a la recta [math]. Demuestre que los puntos [math], [math], [math], [math] y [math] están sobre una misma circunferencia.

Problema 4
Determine la mayor cantidad de alfiles que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de [math]. tal que no haya dos alfiles en la misma casilla y cada alfil sea amenazado como máximo por uno de los otros alfiles.
Nota: Un alfil amenaza a otro si ambos se encuentran en dos casillas distintas de una misma diagonal. El tablero tiene por diagonales las 2 diagonales principales y las paralelas a ellas.

Problema 5
Las circunferencias [math] y [math] se cortan en dos puntos distintos [math] y [math]. La tangente común a [math] y [math] más cercana a [math] toca a [math] en [math] y a [math] en [math]. Sean [math] el pie de la perpendicular desde [math] sobre [math], y [math] el pie de la perpendicular desde [math] sobre [math]. Si [math] y [math] son los puntos simétricos de [math] respecto de las rectas [math] y [math], respectivamente, pruebe que los puntos [math], [math] y [math] son colineales.

Problema 6
Sea [math] un entero positivo y [math] dígitos. Pruebe que existe un entero positivo [math] tal que los últimos [math] dígitos de [math] son, en este orden, [math], para ciertos dígitos [math].