Problema 1
En basquetbol, llamamos
coeficiente de eficacia de un jugador al resultado de dividir la cantidad de tiros libres embocados por la cantidad de tiros libres ejecutados. Al finalizar el primer tiempo el coeficiente de eficacia de Mateo era menor que $\dfrac{3}{4}$, y al finalizar el partido era mayor que $\dfrac{3}{4}$. ¿Se puede afirmar con certeza que hubo un momento en el que su coeficiente de eficacia fue exactamente $\dfrac{3}{4}$ ? Responder la misma pregunta para $\dfrac{3}{5}$ en lugar de $\dfrac{3}{4}$.
Problema 2
Se tienen
[math]100 cajas infinitamente grandes con exactamente una ficha en cada caja. Bruno puede agregar en cada caja cuantas fichas quiera. A continuación se desarrolla la siguiente secuencia de pasos: En el paso
[math]1 se agrega una ficha a cada caja. En el paso
[math]2 se agrega una ficha en cada caja que contenga una cantidad par de fichas. En el paso
[math]3 se agrega en cada caja en la que la cantidad de fichas sea divisible por
[math]3. En el paso
[math]4 se agrega una ficha en cada caja en la que la cantidad de fichas sea divisble por
[math]4, y así siguiendo.
El objetivo de Bruno es que siempre se pueda encontrar entre las
[math]100 cajas dos que contengan diferente cantidad de fichas.
Determinar si Bruno puede agregar convenientemente las fichas antes de la secuencia de pasos para lograr su objetivo.
Problema 3
Sea
[math]ABC un triángulo rectángulo con
[math]\widehat{C}=90^{\circ}. Los puntos
[math]D y
[math]E en la hipotenusa
[math]AB son tales que
[math]AD=AC y
[math]BE=BC. Los puntos
[math]P y
[math]Q en
[math]AC y
[math]BC respectivamente son tales que
[math]AP=AE y
[math]BQ=BD. Sea
[math]M el punto medio de
[math]PQ. Demostrar que
[math]M es el punto de interseccion de las bisectrices del triángulo
[math]ABC y calcular la medida del ángulo
[math]A\widehat{M}B.
Problema 4
En cada casilla de un tablero de
[math]17\times{17} hay que escribir un número natural de
[math]1 a
[math]n inclusive de modo que se usen todos estos números (se pueden repetir). Si una fila contiene dos casillas
[math]A y
[math]B con el mismo número
[math]k y
[math]A está a la izquierda de
[math]B entonces no hay números
[math]k en las casillas de la columna de
[math]A que estén por encima de
[math]A.
El número
[math]n es el menor posible.
Determinar el valor de
[math]n y mostrar un tablero con esas condiciones.
Problema 5
Se consideran los $100$ números $199,199^2,199^3,199^4,\ldots ,199^{100}$. A cada uno de ellos se le calcula la suma de sus dígitos. Determinar el valor mínimo que se obtiene al hacer estas $100$ cuentas.
Problema 6
Alex y Bibi juegan al siguiente juego. Alex elige un número natural
[math]k menor o igual que
[math]1000. Luego Bibi elige una colección
[math]B que contiene más de
[math]k números enteros entre
[math]0 y
[math]1000 inclusive y en la que puede haber repeticiones. Ahora Alex puede aplicar reiteradas veces la siguiente operación en
[math]B: elige
[math]k números de
[math]B y los cambia del siguiente modo. A cada número elegido
[math]b lo reemplaza por
[math]b+1 si
[math]b es menor que
[math]1000 y lo reemplaza por
[math]0 si
[math]b = 1000.
Alex gana si mediante varias operaciones logra que todos los números de
[math]B sean iguales a
[math]0; si él fracasa entonces gana Bibi. Hallar todos los
[math]k que garantizan a Alex una victoria, no importa la colección
[math]B que elija Bibi.