Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2016 • Nivel 2


Problema 1
En las casilla de un tablero de $1\times 100$ Julián escribe todos los números enteros desde $1$ hasta $100$ inclusive en algún orden, a su elección, y sin repetir números. Para cada $3$ casillas consecutivas del tablero, se marca la casilla que contiene al número con el valor del medio de los números de esas tres casillas. Por ejemplo, si los tres números son $7$, $99$ y $22$, entonces se marca la casilla del $22$. Sea $S$ la suma de todos los números de las casillas marcadas. Determinar el mínimo valor que puede tomar $S$.

Aclaración: Cada número marcado interviene en la suma $S$ exactamente una vez, sin embargo puede estar marcado más de una vez.

Problema 2
Se elige el punto [math] del lado [math] del triángulo acutángulo [math] de modo que [math]. Sean [math] y [math] respectivamente los pies de las perpendiculares desde [math] y [math] al lado [math]. Se sabe que [math]. Calcular la medida del ángulo [math].

Problema 3
Nico quiere escribir alrededor de una circunferencia los $100$ números enteros del $1$ al $100$ en algún orden y sin repeticiones, para que tengan la siguiente propiedad: al recorrer la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, la suma de las $100$ distancias entre cada número y su siguiente sea igual a $198$. Determinar de cuántas maneras se pueden ordenar los $100$ números para que Nico logre su objetivo.

Aclaración: La distancia entre dos números $a$ y $b$ es igual al valor absoluto de su resta: $|a-b|$.

Problema 4
Se tiene un tablero con [math] filas y [math] columnas. Cada casilla del tablero contiene un [math] o un [math]. El tablero tiene las siguientes propiedades:.
  • Cada dos filas son distintas
  • Cada fila contiene exactamente [math] casillas con [math]
  • Para cada [math] filas hay una columna que las interseca en [math] casillas con [math]
Hallar el mayor [math] para el que existe un tablero con estas propiedades.

Problema 5
Para cada par [math] de números naturales coprimos, sea [math] el máximo común divisor de [math] y [math].
Hallar el máximo valor posible de [math]

Problema 6
Se marcan en una circunferencia $999$ puntos negros que la dividen en $999$ arcos de longitud $1$. Hay que colocar sobre la circunferencia $d$ arcos de longitud $1,2,\ldots ,d$ de manera que cada arco comience y termine en dos puntos negros y ninguno de los $d$ arcos esté contienido en otro de los $d$ arcos.
Hallar el máximo valor de $d$ para los cuales esta construcción es posible.

Aclaración: Dos arcos pueden tener uno o más puntos negros comunes.