Problema 1
Inicialmente en el pizarron esta escrito el numero 33. Las operaciones permitidas son:
Operacion A: Sustituir el numero
[math]n escrito en el pizarron por el numero
[math]n^3 - 1.
Operacion B: Sustituir el numero
[math]n escrito en el pizarron por el numero
[math]k + d, donde
[math]d es un digito cualquiera de
[math]n y
[math]k es el numero que se obtiene a partir de
[math]n al suprimir el digito
[math]d. Por ejemplo, si
[math]n = 2012 y
[math]d es el primer digito
[math]2, entonces
[math]d = 2, k = 12 y
[math]k + d = 14; en cambio si
[math]d es el
[math]1, entonces
[math]d = 1,k = 202 y
[math]k + d = 203.
i) Mostrar como se puede obtener el numero 511 mediante una secuencia de operaciones permitidas.
ii) Probar que no es posible obtener el numero 2017 mediante una secuencia de operaciones permitidas.
Problema 2
Sea
[math]ABC un triangulo rectangulo e isosceles con
[math]\angle C = 90^{\circ}. Sea
[math]P un punto sobre el lado
[math]BC (que no es ni
[math]B ni
[math]C). Se marcan los puntos
[math]N y
[math]L en el segmento
[math]AP tales que
[math]CN es perpendicular a
[math]AP y
[math]AL = CN. Sea
[math]M el punto medio de
[math]AB.
i) Determinar la medida del angulo
[math]\angle LMN.
ii) Si el area del triangulo
[math]ABC es igual a cuatro veces el area del triangulo
[math]LMN, determinar la medida del angulo
[math]\angle CAP.
Problema 3
Se tiene un tablero con forma de triangulo equilatero de lado
[math]2016 dividido en
[math]2016^2 casillas, cada una de las cuales es un triangulo equilatero de lado
[math]1.
Un
diamante es una ficha que ocupa exactamente dos casillas del tablero con un lado en comun.
Tres jugadores,
[math]A,
[math]B y
[math]C, juegan por turnos.
[math]A comienza el juego (luego juega
[math]B, luego
[math]C, luego nuevamente
[math]A, y asi sucesivamente). En cada turno, el jugador correspondiente coloca un diamante en el tablero, de modo que ocupe dos casillas que se encuentren vacias. El jugador que en su turno no puede colocar nungun diamante pierde el juego y los otros dos ganan. Demostrar que
[math]B y
[math]C pueden idear conjuntamente una estrategia que les asegure la victoria a ambos, sin importar como juegue
[math]A.
Problema 4
Juan escribio
[math]5 numeros naturales, no necesariamente distintos, en
[math]5 tarjetas, uno en cada tarjeta. Luego, para cada dos tarjetas, calculo la suma de los numeros que contienen y escribio el resultado en una pizarra. Juan observa que entre los
[math]10 numeros de la pizarra solo hay tres valores distintos:
[math]101, 110, y
[math]119.
Determinar que numeros pudo haber escrito Juan en las
[math]5 tarjetas.
Problema 5
Se tiene un tablero de $11$ casillas como el de la figura.$$\begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| }
\hline
& & & & & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$Dado un numero natural $k$, Bruno escribe un numero natural en cada casilla del tablero, sin repetir numeros, de forma que el resultado de multiplicar los numeros de dos casillas vecinas sea siempre multiplo de $k$.
Si $M$ es el mayor de los numeros escritos por Bruno, determinar el minimo valor posible de $M$ en los siguientes casos:
i) $k=99$,
ii) $k=100$.
En cada caso, mostrar una manera de completar el tablero con la que se obtiene el valor minimo de $M$, y justificar por que no es posible obtener un valor menor.
Problema 6
Se tiene un tablero cuadriculado de
[math]8\times 8. Alicia divide el tablero en
[math]32 rectangulos, cada uno de los cuales contiene exactamente
[math]2 casillas del tablero. A continuacion, Beatriz elige
[math]16 de los rectangulos y colorea de rojo las
[math]32 casillas que pertenecen a los rectangulos elegidos; las otras
[math]32 casillas las colorea de azul.
Consideramos las
[math]7 rectas verticales y las
[math]7 rectas horizontales que pasan por las lineas de la cuadricula y atraviesan el tablero. Cada una de estas rectas divide al tablero en dos subtableros. Decimos que una de estas rectas es
inestable si en cada uno de los dos subtableros determinados por la recta se cumple que la diferencia (en valor absoluto) entre la cantidad de casillas rojas y la cantidad de casillas azules es mayor o igual que
[math]6.
Determinar el maximo valor de
[math]N para el cual Beatriz siempre puede lograr que haya al menos
[math]N rectas inestables, sin importar como divida Alicia el tablero.
Nota. Cada uno de los rectangulos en los que Alicia divide el tablero es de
[math]1\times 2 o de
[math]2\times 1.