Listas de problemas • OMA Foros Open • 2017


Información para los participantes
Problema 1
Un número entero positivo se dice estival si el cubo de la suma de sus dígitos es igual al propio número. Determinar todos los números estivales de cuatro dígitos.

Problema 2
Para jugar a la lotería de Rio de Janeiro se compra un cartón que tiene tres números enteros entre $1$ y $37$, no necesariamente distintos (hay $37^3$ cartones diferentes). Esta semana resultarán premiados los cartones para los cuales la distancia entre el número de la izquierda y el número central es igual a la distancia entre el número central y el número de la derecha. ¿Cuántos cartones premiados habrá?
ACLARACIÓN: La distancia entre dos números es la resta del mayor menos el menor (si son iguales, la distancia es $0$).

Problema 3
Sea $b$ un entero positivo. Se construye una sucesión infinita de números $x_1, x_2, x_3, \ldots$ de acuerdo a la siguiente regla: $x_1 = b$, y para cada $n \in \mathbb N$, $x_{n+1} = \frac{x_n+11}{25}$.
Determinar el mínimo valor de $b$ para el cual los $2017$ números $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{2017}$ son todos enteros.

Problema 4
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\widehat{B} = \widehat{D} = 90^{\circ}$. Sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $B$ a las rectas $AD$ y $AC$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BD$. Demostrar que los puntos $P$, $Q$, $M$ son colineales.

Problema 5
Se tiene un tablero con forma de rombo de lado $120$ y ángulos de $60^{\circ}$ y $120^{\circ}$, dividido en triangulitos equiláteros de lado $1$ mediante paralelas a sus lados y a la diagonal menor. Llamaremos vértices a todos los puntos que son vértice de alguno de estos triangulitos.
Tres jugadores, Agustín, Lautaro y Lisandro, juegan por turnos. En el primer turno Agustín coloca una ficha en un vértice cualquiera, a su elección. Luego, en cada turno (le tocaría por primera vez a Lautaro), el jugador correspondiente mueve la ficha a un vértice adyacente, de modo que se cumplan las siguientes dos condiciones:
  • El lado por el que se mueve la ficha no puede haber sido recorrido en una jugada anterior.
  • Luego de hacer la movida, los últimos tres vértices visitados por la ficha no pueden formar un ángulo de $120^{\circ}$ o $240^{\circ}$.
El último jugador en realizar una movida válida es el ganador del juego.
Determinar si alguno de los tres jugadores posee una estrategia que le asegure ganar siempre, independientemente de cómo jueguen sus adversarios.

Problema 6
Inicialmente en el pizarrón están escritos los números $1$, $1$, $3$, $3$. La operación permitida consiste en elegir uno de los números del pizarrón, digamos $d$, borrarlo y escribir en su lugar el número $\frac{a^2+b^2+c^2-2}{d}$, donde $a,b,c$ son los números no elegidos.
Se realiza una secuencia de varias operaciones permitidas. Probar que en todo momento, los cuatro números escritos en el pizarrón son enteros.

Problema 7
Sea $ABC$ un triángulo con $\widehat{B} > 90^{\circ}$. Se sabe que existe un punto $P$ sobre el lado $AC$ tal que $BP$ es perpendicular a $BC$ y $AP = BP$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. La paralela a $AB$ trazada por $P$ corta a $DE$ en $F$.
Demostrar que $B \widehat{C} F = A \widehat{C} D$.

Problema 8
Determinar todas las ternas de números enteros positivos $(a,b,c)$ tales que los números $a^2+2b+c$, $b^2+2c+a$ y $c^2+2a+b$ son todos cuadrados perfectos.

Problema 9
Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ que satisfacen la ecuación

$$f(x+f(x)+2y) = 2x + 2f(f(y))$$


para todos los números racionales $x,y$.

Problema 10
Demostrar que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $k$ (que depende de $n$) que satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones:
  • El número $5^k$ tiene al menos $n$ dígitos $5$ en su representación decimal.
  • La suma de los dígitos de $k$ es menor o igual que $n$.


Problema 11
Se tienen $100$ monedas con pesos desconocidos, todos distintos. Demetrio tiene una máquina especial que recibe $50$ monedas y las devuelve ordenadas según su peso de menor a mayor. Determinar cuál es la mínima cantidad de veces que Demetrio debe usar su máquina para poder ordenar todas las $100$ monedas según su peso de menor a mayor.

Problema 12
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Las alturas $BE$ y $CF$ se cortan en $H$. Sean $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ el punto de intersección de las tangentes a $\omega$ por $B$ y $C$. La recta $EF$ corta a las rectas $PB$ y $PC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. La semirrecta $MH$ corta a $\omega$ en $T$.
Demostrar que el circuncírculo del triángulo $PQR$ y $\omega$ son tangentes en el punto $T$.


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