Competencias de Argentina • Selectivo Cono Sur • 2017


Problema 1
En una clase hay [math] estudiantes. Durante el [math], cada estudiante celebró su cumpleaños con por lo menos uno de sus compañeros como invitado, pero no con todos. Para cada dos estudiantes, contamos la cantidad de tales fiestas en las que los dos participaron (cumpliendo años o como invitado). Determinar si es posible que esas cantidades sean iguales para todos los pares de estudiantes de la clase.

Problema 2
En cada casilla de un tablero de [math] hay una lamparita. Al comienzo todas las lamparitas estan apagadas. En cada paso esta permitido considerar tres casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna y cambiar el estado de sus tres lamparitas (encender las apagadas y apagar las encendidas). Determinar todos los pares de enteros positivos [math] para los que es posible llegar, mediante estos pasos a un tablero con todas las lamparitas encendidas.

Problema 3
En una circunferencia de diámetro [math] se elige un punto [math]. En la misma circunferencia sea [math] tal que la intersección de [math] y [math] es el punto [math], con [math]. La cuerda perpendicular a [math] que pasa por [math] corta a [math] en [math]. Demostrar que al variar [math] el punto [math] pertenece siempre a una misma recta

Problema 4
Sea [math] un cuadrilátero con [math] y [math]. Sea [math] en el segmento [math] tal que los triángulos [math] y [math] son congruentes. Si el área del triangulo [math] es [math], calcular el valor del área del triangulo [math]. (Dos triángulos son congruentes si sus lados son respectivamente iguales.)

Problema 5
Se tiene un tablero de [math] filas y [math] columnas. Determinar si es posible quitar dos casillas de la ultima columna del tablero de modo que el tablero así obtenido se pueda cubrir, sin huecos ni superposiciones y sin salirse del tablero, exclusivamente con piezas como las de la figura. (Esta permitido girar las piezas.)
[math]


Problema 6
Hallar todos los pares [math] con [math] primo y [math] entero positivo que satisfacen la ecuación
[math].