Competencias de Argentina • Selectivo de IMO • 2017


Problema 1
Ana y Bea juegan un juego. En cada turno, Ana reemplaza un asterisco de la expresión
[math]
por uno de los dígitos [math] que no haya sido usado hasta ese momento. Bea, en su turno, reemplaza dos asteriscos con dos dígitos que aún no se hayan usado. Ana comienza el juego y las dos jugadoras se alternan con sus turnos. Bea gana si el número final de [math] dígitos es un múltiplo de [math]. En caso contrario, gana Ana. ¿Cuál de las dos jugadoras tiene una estrategia que le permita asegurarse la victoria?

Problema 2
Hallar todos los números naturales [math] tales que los cinco números
[math]
sean todos números primos.

Problema 3
La circunferencia inscrita del triángulo [math] es tangente a [math] en los puntos [math] respectivamente. Sea [math] el incentro del triángulo [math]. Supongamos que la recta [math] corta a las rectas [math] en los puntos [math] respectivamente. Si la recta que pasa por el punto medio de [math] y por [math] corta a [math] en [math], demostrar que [math].

Problema 4
Hay una colección de números enteros positivos distintos escritos en el pizarrón. Su promedio es un número decimal con la parte decimal exactamente igual a la de [math]. Determinar cuál es el menor valor posible del promedio.

Problema 5
Se tiene un tablero de [math], [math] entero, con todas sus casillas blancas. En cada movida, se puede cambiar el color de cualesquiera [math] casillas consecutivas en una fila o columna (las blancas se reemplazan por negras y viceversa). Hallar todos los posibles valores de [math] tales que, mediante las movidas, se pueda obtener la coloración de un tablero de ajedrez, con todas las esquinas negras.

Problema 6
Hallar todas las funciones [math] que satisfacen
[math]
para todos [math].