Problema 1
Ana y Bea juegan un juego. En cada turno, Ana reemplaza un asterisco de la expresión$$*********$$por uno de los dígitos $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ que no haya sido usado hasta ese momento. Bea, en su turno, reemplaza dos asteriscos con dos dígitos que aún no se hayan usado. Ana comienza el juego y las dos jugadoras se alternan con sus turnos. Bea gana si el número final de $9$ dígitos es un múltiplo de $27$. En caso contrario, gana Ana. ¿Cuál de las dos jugadoras tiene una estrategia que le permita asegurarse la victoria?
Problema 2
Hallar todos los números naturales $n$ tales que los cinco números$$n \, , \quad n^2+10 \, , \quad n^2-2 \, , \quad n^3+6 \, , \quad n^5+36$$sean todos números primos.
Problema 3
La circunferencia inscrita del triángulo
[math]ABC es tangente a
[math]BC,AC,AB en los puntos
[math]D,E,F respectivamente. Sea
[math]I el incentro del triángulo
[math]ABC. Supongamos que la recta
[math]EF corta a las rectas
[math]BI,CI,BC,DI en los puntos
[math]K,L,M,Q respectivamente. Si la recta que pasa por el punto medio de
[math]CL y por
[math]M corta a
[math]CK en
[math]P, demostrar que
[math]PQ = \frac{AB \cdot KQ}{BI}.
Problema 4
Hay una colección de números enteros positivos distintos escritos en el pizarrón. Su promedio es un número decimal con la parte decimal exactamente igual a la de
[math]0,3168. Determinar cuál es el menor valor posible del promedio.
Problema 5
Se tiene un tablero de
[math](2n+1) \times (2n+1),
[math]n entero, con todas sus casillas blancas. En cada movida, se puede cambiar el color de cualesquiera
[math]3 casillas consecutivas en una fila o columna (las blancas se reemplazan por negras y viceversa). Hallar todos los posibles valores de
[math]n tales que, mediante las movidas, se pueda obtener la coloración de un tablero de ajedrez, con todas las esquinas negras.
Problema 6
Hallar todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen$$f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x$$para todos $x,y\in \mathbb R$.