Competencias Internacionales • Cuenca del Pacifico • 2017


Problema 1
Decimos que una [math]-tupla de números enteros es acomodable si sus elementos pueden ser etiquetados [math] en algún orden de manera que [math]. Determinar todas las [math]-tuplas de números enteros [math] tales que si los colocamos alrededor de una circunferencia en sentido horario, toda [math]-tupla de números en posiciones consecutivas en la circunferencia es acomodable.

Problema 2
Sea [math] un triángulo tal que [math]. Sea [math] el punto de intersección entre la bisectriz interior de [math] y el circuncírculo de [math]. Sea [math] el punto de intersección entre la mediatriz de [math] y la bisectriz exterior de [math].
Probar que el punto medio del segmento [math] está sobre el circuncírculo del triángulo [math].

Problema 3
Sea [math] la cantidad de sucesiones [math] de enteros positivos tales que [math] y cada [math] es una potencia de dos [math]. Sea [math] la cantidad de sucesiones [math] de enteros positivos tales que [math] y se cumple la desigualdad [math] para todo [math].
Demostrar que [math].

Problema 4
Decimos que un número racional [math] es poderoso si [math] se puede expresar de la forma [math] para algunos enteros positivos coprimos [math] y [math] y algún entero [math]. Sean [math] racionales positivos tales que [math]. Supongamos que existen enteros positivos [math] tales que [math] es un entero. Probar que [math] son todos poderosos.

Problema 5
Sea [math] un entero positivo. Un par de [math]-tuplas [math] y [math] con entradas enteras forman un par exquisito si
[math].
Determinar el máximo numero de [math]-tuplas distintas con entradas enteras tales que cualesquiera dos de ellas forman un par exquisito.