Competencias Internacionales • Cuenca del Pacifico • 2017


Problema 1
Decimos que una $5$-tupla de números enteros es acomodable si sus elementos pueden ser etiquetados $a,b,c,d,e$ en algún orden de manera que $a-b+c-d+e=29$. Determinar todas las $2017$-tuplas de números enteros $n_1,n_2,...,n_{2017}$ tales que si los colocamos alrededor de una circunferencia en sentido horario, toda $5$-tupla de números en posiciones consecutivas en la circunferencia es acomodable.

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB<AC$. Sea $D$ el punto de intersección entre la bisectriz interior de $\angle{BAC}$ y el circuncírculo de $ABC$. Sea $Z$ el punto de intersección entre la mediatriz de $AC$ y la bisectriz exterior de $\angle{BAC}$.
Probar que el punto medio del segmento $AB$ está sobre el circuncírculo del triángulo $ADZ$.

Problema 3
Sea $A(n)$ la cantidad de sucesiones $a_1\geq{}a_2\geq{}...\geq{}a_k$ de enteros positivos tales que $a_1+a_2+...+a_k=n$ y cada $a_i+1$ es una potencia de dos $(i=1,2,...,k)$. Sea $B(n)$ la cantidad de sucesiones $b_1\geq{}b_2\geq{}...\geq{}b_m$ de enteros positivos tales que $b_1+b_2+...+b_m=n$ y se cumple la desigualdad $b_j\geq{2b_{j+1}}$ para todo $j=1,2,...,m-1$.
Demostrar que $A(n)=B(n)$.

Problema 4
Decimos que un número racional $r$ es poderoso si $r$ se puede expresar de la forma $\frac{p^k}{q}$ para algunos enteros positivos coprimos $p$ y $q$ y algún entero $k>1$. Sean $a,b,c$ racionales positivos tales que $abc=1$. Supongamos que existen enteros positivos $x,y,z$ tales que $a^x+b^y+c^z$ es un entero. Probar que $a,b,c$ son todos poderosos.

Problema 5
Sea $n$ un entero positivo. Un par de $n$-tuplas $(a_1,a_2,...,a_n)$ y $(b_1,b_2,...,b_n)$ con entradas enteras forman un par exquisito si
$|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|\leq{1}$.
Determinar el máximo numero de $n$-tuplas distintas con entradas enteras tales que cualesquiera dos de ellas forman un par exquisito.