Problema 1
Para cada entero
[math]a_0 >1, se define la sucesión
[math]a_0, a_1, a_2, \ldots... tal que para cada
[math]n \geq 0:
1.
[math]a_{n+1} = \sqrt{a_n}, si
[math]\sqrt{a_n} es entero.
2.
[math]a_{n+1} = a_n+3 de otro caso.
Determinar todos los valores de
[math]a_0 para los que existe un número
[math]A tal que
[math]a_n=A para infinitos valores de
[math]n.
Problema 2
Sea
[math]\mathbb{R} el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tales que, para cualesquiera números reales
[math]x e
[math]y,
[math]f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)
Problema 3
Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida del conejo
[math]A_0 y el punto de partida del cazador
[math]B_0 son el mismo. Después de
[math]n-1 rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto
[math]A_{n-1} y el cazador en el punto
[math]B_{n-1}. En la n-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:
(i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto
[math]A_n tal que la distancia entre
[math]A_{n-1} y
[math]A_n es exactamente 1.
(ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto
[math]P_n al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre
[math]P_n y
[math]A_n es menor o igual a 1.
(iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto
[math]B_n tal que la distancia entre
[math]B_{n-1} y
[math]B_n es exactamente 1.
¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador puede escoger sus movimientos de modo que despues de
[math]10^9 rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual a
[math]100?
Problema 4
Sean
[math]R y
[math]S puntos distintos sobre una circunferencia
[math]\Omega tales que
[math]RS no es un diámetro de
[math]\Omega. Sea
[math]l la recta tangente a
[math]\Omega en
[math]R. El punto
[math]T es tal que
[math]S es el punto medio del segmento
[math]RT. El punto
[math]J se elige en el menor arco
[math]RS de
[math]\Omega de manera que
[math]\Gamma, la circunferencia circunscrita al triángulo
[math]JST, intersecta a
[math]l en dos puntos distintos. Sea
[math]A el punto común de
[math]\Gamma y
[math]l más cercano a
[math]R. La recta
[math]AJ corta por segunda vez a
[math]\Omega en
[math]K. Demostrar que la recta
[math]KT es tangente a
[math]\Gamma.
Problema 5
Sea
[math]N\geq 2 un entero dado. Los
[math]N(N+1) jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar
[math]N(N-1) jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los
[math]2N jugadores restantes satisfaga las
[math]N condiciones siguientes:
[math](1) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.
[math](2) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.
[math]\vdots
[math](N) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.
Demostrar que esto siempre es posible.
Problema 6
Un par ordenado
[math](x,y) de enteros es un
punto primitivo si el máximo común divisor de
[math]x e
[math]y es
[math]1. Dado un conjunto finito
[math]S de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo
[math]n y enteros
[math]a_0,a_1,\ldots ,a_n tales que, para cada
[math](x,y) de
[math]S, se cumple:
[math]a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1.