Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2017


Problema 1
Para cada entero $a_0>1$, se define la sucesión $a_0,~a_1,~a_2,~\ldots$ tal que para cada $n \geq 0$:
  1. $a_{n+1}=\sqrt{a_n}$, si $\sqrt{a_n}$ es entero.
  2. $a_{n+1}=a_n+3$ de otro caso.
Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$.

Problema 2
Sea [math] el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones [math] tales que, para cualesquiera números reales [math] e [math],

[math]


Problema 3
Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida del conejo [math] y el punto de partida del cazador [math] son el mismo. Después de [math] rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto [math] y el cazador en el punto [math]. En la n-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:

(i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto [math] tal que la distancia entre [math] y [math] es exactamente 1.

(ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto [math] al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre [math] y [math] es menor o igual a 1.

(iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto [math] tal que la distancia entre [math] y [math] es exactamente 1.

¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador puede escoger sus movimientos de modo que despues de [math] rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual a [math]?

Problema 4
Sean [math] y [math] puntos distintos sobre una circunferencia [math] tales que [math] no es un diámetro de [math]. Sea [math] la recta tangente a [math] en [math]. El punto [math] es tal que [math] es el punto medio del segmento [math]. El punto [math] se elige en el menor arco [math] de [math] de manera que [math], la circunferencia circunscrita al triángulo [math], intersecta a [math] en dos puntos distintos. Sea [math] el punto común de [math] y [math] más cercano a [math]. La recta [math] corta por segunda vez a [math] en [math]. Demostrar que la recta [math] es tangente a [math].

Problema 5
Sea [math] un entero dado. Los [math] jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar [math] jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los [math] jugadores restantes satisfaga las [math] condiciones siguientes:

[math] Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.

[math] Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.

[math]

[math] Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.

Demostrar que esto siempre es posible.

Problema 6
Un par ordenado $(x,y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0,a_1,\ldots ,a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple:$$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1$$