Competencias Internacionales • IMO • 2017


Problema 1
Para cada entero [math], se define la sucesión [math] tal que para cada [math]:

1. [math], si [math] es entero.
2. [math] de otro caso.

Determinar todos los valores de [math] para los que existe un número [math] tal que [math] para infinitos valores de [math].

Problema 2
Sea [math] el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones [math] tales que, para cualesquiera números reales [math] e [math],

[math]


Problema 3
Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida del conejo [math] y el punto de partida del cazador [math] son el mismo. Después de [math] rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto [math] y el cazador en el punto [math]. En la n-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:

(i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto [math] tal que la distancia entre [math] y [math] es exactamente 1.

(ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto [math] al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre [math] y [math] es menor o igual a 1.

(iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto [math] tal que la distancia entre [math] y [math] es exactamente 1.

¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador puede escoger sus movimientos de modo que despues de [math] rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual a [math]?

Problema 4
Sean [math] y [math] puntos distintos sobre una circunferencia [math] tales que [math] no es un diámetro de [math]. Sea [math] la recta tangente a [math] en [math]. El punto [math] es tal que [math] es el punto medio del segmento [math]. El punto [math] se elige en el menor arco [math] de [math] de manera que [math], la circunferencia circunscrita al triángulo [math], intersecta a [math] en dos puntos distintos. Sea [math] el punto común de [math] y [math] más cercano a [math]. La recta [math] corta por segunda vez a [math] en [math]. Demostrar que la recta [math] es tangente a [math].

Problema 5
Sea [math] un entero dado. Los [math] jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar [math] jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los [math] jugadores restantes satisfaga las [math] condiciones siguientes:

[math] Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.

[math] Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.

[math]

[math] Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.

Demostrar que esto siempre es posible.

Problema 6
Un par ordenado [math] de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de [math] e [math] es [math]. Dado un conjunto finito [math] de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo [math] y enteros [math] tales que, para cada [math] de [math], se cumple:
[math].