Competencias Internacionales • IMO • 2017


Problema 1
Para cada entero $a_0 >1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \ldots...$ tal que para cada $n \geq 0$:

1. $a_{n+1} = \sqrt{a_n}$, si $\sqrt{a_n}$ es entero.
2. $a_{n+1} = a_n+3$ de otro caso.

Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$.

Problema 2
Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$,



$$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)$$




Problema 3
Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida del conejo $A_0$ y el punto de partida del cazador $B_0$ son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto $A_{n-1}$ y el cazador en el punto $B_{n-1}$. En la n-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:

(i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente 1.

(ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es menor o igual a 1.

(iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente 1.

¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador puede escoger sus movimientos de modo que despues de $10^9$ rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual a $100$?

Problema 4
Sean $R$ y $S$ puntos distintos sobre una circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro de $\Omega$. Sea $l$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento $RT$. El punto $J$ se elige en el menor arco $RS$ de $\Omega$ de manera que $\Gamma$, la circunferencia circunscrita al triángulo $JST$, intersecta a $l$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $l$ más cercano a $R$. La recta $AJ$ corta por segunda vez a $\Omega$ en $K$. Demostrar que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Problema 5
Sea $N\geq 2$ un entero dado. Los $N(N+1)$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar $N(N-1)$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los $2N$ jugadores restantes satisfaga las $N$ condiciones siguientes:

$(1)$ Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.

$(2)$ Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.

$\vdots$

$(N)$ Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.

Demostrar que esto siempre es posible.

Problema 6
Un par ordenado $(x,y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0,a_1,\ldots ,a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple:

$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1$.