Competencias de Argentina • Selectivo de Ibero • 2017


Problema 1
En un pizarrón están escritos los números enteros desde [math] hasta [math]. La operación permitida es elegir dos números del pizarrón, borrarlos y escribir en el pizarrón el promedio de los números recién borrados. Por ejemplo, se puede reemplazar [math] y [math] con [math], o [math] y [math] por [math]. Al cabo de [math] operaciones permitidas, en el pizarrón queda un solo número.
a) Demostrar que hay una sucesión de operaciones permitidas que hacen que el número final sea [math].
b) Demostrar que hay una sucesión de operaciones permitidas que hacen que el número final sea [math].

Problema 2
Resolver la ecuación [math], donde [math] y [math] son números primos positivos.
Nota. El [math] no es primo

Problema 3
Sea [math] la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo [math]. El punto [math] pertenece al arco [math] de [math] que no contiene al punto [math]. El punto [math] está en el interior del triángulo [math], no pertenece a la recta [math], y satisface [math] y [math].
Sea [math] un punto de la recta [math] tal que las rectas [math] y [math] son paralelas, y sea [math] un punto de [math] distinto de [math] tal que [math]. Demostrar que los puntos [math] pertenecen a una circunferencia.
Nota. La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices

Problema 4
Un punto [math] recorre la circunferencia de centro [math] y radio [math]. Sea [math] un segmento fijo del plano, exterior a la circunferencia. Demostrar que el lugar geométrico del baricentro del triángulo [math] es una circunferencia de radio [math] y cuyo centro es el baricentro del triángulo [math].

Nota. El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

Problema 5
Sean [math], [math], [math], [math] números reales positivos tales que [math]. Demostrar que
[math].


Problema 6
Un tablero cuadrado de [math] dividido en rectángulos más pequeños se llama durable si es imposible dividirlo en dos partes mediante una línea recta que no divida también alguno de los rectángulos pequeños. Por ejemplo, la primera figura representa un tablero durable de [math], mientras que la segunda figura representa un cuadrado no durable de [math].
Selectivo Ibero 2017 Problema 6.png
Para todo número natural [math], hallar para qué valores de [math] es posible dividir el cuadrado de [math] en rectángulos de [math] y [math], de modo que el cuadrado resultante sea durable.