Problema 1
Samantha debe escribir en la pizarra algunos números enteros positivos distintos.
Después de haberlos escrito, diremos que un número $k$ ha sido capturado por Samantha si hay en la pizarra dos números distintos cuyo máximo común divisor es $k$.
¿Cuál es la menor cantidad de números que puede escribir Samantha para que los catorce números $1, 2, 3, \ldots, 14$ sean capturados?
Mostrar un ejemplo con esa cantidad de números y explicar por qué si escribe menos números no puede lograrlo.
Problema 2
Sobre la mesa hay $13$ tarjetas. Cada tarjeta tiene escritos dos números enteros positivos, uno en color azul y otro en color verde.
Hay que seleccionar $3$ tarjetas de manera que la suma de los tres números azules escritos en ellas sea múltiplo de $3$ y la suma de los tres números verdes también sea múltiplo de $3$.
Demostrar que siempre es posible lograrlo, sin importar qué números estén escritos en las $13$ tarjetas.
Problema 3
Se tiene un triángulo equilátero $T$ de lado $\ell$, con $\ell$ un número real positivo.
Se dividió el triángulo $T$ en $23$ triángulos equiláteros. Cada uno de estos triángulos tiene sus lados paralelos a los lados de $T$, y entre ellos hay $16$ que tienen lado $1$, $6$ que tienen lado $2$ y uno que tiene lado $a$ ($a\neq 1$, $a\neq 2$).
Determinar todos los valores posibles de $\ell$ y $a$.
Problema 4
Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$. Sean $P$ un punto del lado $AB$ y $Q$ un punto de la diagonal $BD$ tales que $PQ$ es paralelo a $AD$ y $AD = PQ + 2BQ$. La recta perpendicular a $AC$ que pasa por $P$ corta a $AC$ en $R$. Demostrar que $PR = 2PB$.
Problema 5
Decimos que dos números enteros positivos son semejantes si tienen exactamente los mismos dígitos, en cualquier orden. Por ejemplo, $111223$ es semejante a $213121$ y a $322111$, pero no es semejante a $422111$ ni a $11223$.
Determinar cuántos enteros positivos $N < 10^{10}$ cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
- Ninguno de los dígitos de $N$ es igual a $0$.
- $N$ y todos los números semejantes a $N$ son múltiplos de $63$.
Problema 6
En la pizarra están escritos algunos números enteros positivos. Existen dos operaciones permitidas:
(1) Elegir dos números $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el número $a+b$.
(2) Elegir un número par $n$ escrito en la pizarra, borrarlo y escribir dos veces el número $\frac{n}{2}$.
Sea $M$ el mayor número escrito en la pizarra y sea $k$ la cantidad de números $1$ escritos en la pizarra. Demostrar que si $M \leq 2^{k+1}$ entonces es posible lograr, mediante una secuencia de operaciones permitidas, que todos los números de la pizarra sean iguales a $1$.