Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Rioplatense • 2017 • Nivel 2


Problema 1
Se tienen $1500$ enteros no negativos escritos en las posiciones $1,2,\ldots ,1500$ alrededor de una circunferencia. Una movida permitida consiste en seleccionar $3$ números $a$, $b$, $c$ en posiciones consecutivas, con $a\geq 2$ (ordenados en ese orden en una de las dos posibles direcciones) y reemplazarlos por $a-2$, $b+1$, $c+1$. Inicialmente los números dados son $1000$ en la posición $1$ y $0$ en las restantes.
a) ¿Podemos obtener ceros en todas las posiciones excepto la $101$ y la $102$?
b) ¿Podemos obtener $800$ y $200$ en las posiciones $100$ y $101$ respectivamente?
c) ¿Podemos obtener $700$ y $300$ en las posiciones $100$ y $101$ respectivamente?

Problema 2
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, inscrito en una circunferencia. Las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en $G$ ($C$ está entre $B$ y $G$). Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E$ ($A$ está entre $B$ y $E$). La circunferencia de diámetro $EG$ corta a la recta $BC$ en $H$ ($H \neq G$) y a $EC$ en $I$ ($I \neq E$). Demostrar que la recta $HI$ pasa por el punto medio de $BD$.

Problema 3
Hallar todos los enteros positivos $a$, $b$ tales que cada casilla de un tablero $a\times b$ se puede colorear de blanco o negro, con al menos una casilla negra, de modo tal que cada casilla tenga una cantidad par de vecinas negras.

Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen exactamente un lado en común.

Problema 4
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, tal que $\angle A = \angle C$ y $AB = AD$. Sobre la bisectriz del ángulo $\angle BCD$ están los puntos $P$ y $Q$, distintos de $C$, tales que $BC = BP$ y $DC = DQ$. Demostrar que $AP = AQ$.

Problema 5
Dos jugadores, $A$ y $B$ juegan en un tablero rectangular de $1 \times 2017$. Por turnos, escriben $+1$ o $-1$ en una casilla vacía; $A$ juega primero. Si alguno escribe un número en una casilla adyacente a otra que tiene el número opuesto, dicho jugador pierde y el juego finaliza. Si esto no ocurre y se completa todo el tablero, entonces gana $B$.
Determinar cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora, o sea, quién puede asegurarse la victoria independientemente de cómo juegue su rival.

Problema 6
Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales fijos, todos distintos de $0$. Encontrar todas las $n$-uplas $(r_1,r_2,\ldots ,r_n)$ de números reales para las cuales la desigualdad$$\sum _{i=1}^nr_i(x_i-a_i)\leq \sqrt{\sum _{i=1}^nx_i^2}-\sqrt{\sum _{i=1}^na_i^2}$$se cumple para todos los números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$.