Listas de problemas • OMA Foros Open • 2018


Problema 1
Determinar el menor entero positivo $N$ que cumple la siguiente propiedad:
"Es imposible dividir los números $1,2,3,\ldots,2N$ en $N$ parejas de manera que las sumas de los números en cada pareja sean $N$ números primos distintos."
(Para el valor hallado, justificar por qué es imposible formar las parejas, y mostrar que si $N$ es menor que ese valor entonces sí es posible.)

Problema 2
Se tiene un tablero cuadriculado de $9 \times 9$ cuyas casillas están coloreadas alternadamente de blanco y de negro, como un tablero de ajedrez. En este tablero hay que colocar $8$ torres de manera que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:
  • No puede haber dos torres que se ataquen entre sí, es decir que estén en una misma fila o en una misma columna del tablero.
  • Las $8$ torres deben estar en casillas del mismo color.
¿De cuántas maneras distintas se puede hacer esto?

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sobre el arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ se marca un punto $P$, más cerca de $B$ que de $C$. La recta perpendicular a $PC$ que pasa por $A$ corta a $PC$ en $D$. Demostrar que $PB + PC = 2PD$.
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo $XYZ$ es la circunferencia que pasa por los puntos $X$, $Y$ y $Z$.

Problema 4
En algunas casillas de un tablero cuadriculado de $2018 \times 2018$ se colocaron fichas rojas y azules (no más de una ficha por casilla). Primero Pinocho retira del tablero todas las fichas rojas que tengan alguna ficha azul en su misma columna. A continuación retira del tablero todas las fichas azules que tengan alguna ficha roja en su misma fila.
Pinocho dice que luego de realizar este proceso quedaron en el tablero más de $1009^2$ fichas rojas y más de $1009^2$ fichas azules. Demostrar que a Pinocho le crecerá la nariz.
ACLARACIÓN: A Pinocho le crece la nariz cada vez que miente.

Problema 5
Para hacerse una cuenta en la red social de Binarilandia hay que elegir una contraseña, que tiene que ser una secuencia de ceros y unos. La contraseña se considera segura si ningún bloque de 5 dígitos consecutivos aparece más de una vez dentro de la misma. Por ejemplo, $11001101$ es una contraseña segura, pues los bloques de 5 dígitos consecutivos que aparecen en ella son $11001$, $10011$, $00110$ y $01101$, y ninguno se repite. En cambio, $010110110$ no es segura, porque el bloque $10110$ aparece dos veces.
SebP eligió una contraseña segura de longitud máxima, es decir que no existe ninguna contraseña segura que tenga más dígitos que esa. Demostrar que en la contraseña de SebP los primeros 4 dígitos son exactamente los mismos y en el mismo orden que los últimos 4 dígitos.

Problema 6
Para cada entero positivo $n>1$ denotamos $p(n)$ al menor número primo que divide a $n$. Por ejemplo, $p(2018)=2$ y $p(35)=5$.
Determinar todas las parejas de enteros $(a,b)$, ambos mayores que $1$, que satisfacen la ecuación $$ a^2 + b = p(a) + p(b)^2. $$

Problema 7
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $O$ su circuncentro. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$. La recta $\ell$ es tangente a $\omega$ y corta al interior de los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente. Sea $A'$ el simétrico de $A$ respecto de $\ell$. Probar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $A'DE$ son tangentes entre sí.
ACLARACIÓN: El circuncentro de un triángulo es el centro de su circunferencia circunscrita.

Problema 8
Determinar todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen la ecuación $$ f\left(f(x)-f(y)\right)=f(f(x))-2x^2f(y)+f\left(y^2\right) $$ para todos los números reales $x,y$.

Problema 9
Cada número entero positivo se pintó de celeste o de blanco. Probar que existe una sucesión infinita $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ de números enteros positivos tal que los números $$ a_1, \, \frac{a_1+a_2}{2}, \, a_2, \, \frac{a_2+a_3}{2}, \, a_3, \, \ldots $$ son enteros positivos y además están todos pintados del mismo color.

Problema 10
Sea $f : \mathbb N \to \mathbb R_{>0}$ una función que satisface las siguientes dos condiciones:
  • $f(mn)=f(m)f(n)$ para cualesquiera $m,n \in \mathbb N$ coprimos (es decir, que su máximo común divisor sea igual a 1);
  • $f$ es creciente, es decir, $f(n+1) \geq f(n)$ para todo $n \in \mathbb N$.
Probar que existe $\alpha \geq 0$ tal que $f(n) = n^{\alpha}$ para todo $n \in \mathbb N$.
ACLARACIÓN: $\mathbb N$ y $\mathbb R_{>0}$ denotan a los enteros positivos y los reales positivos respectivamente.

Problema 11
Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Omega$ su circunferencia circunscrita. Sobre el arco $BC$ de $\Omega$ que no contiene a $A$ se marca un punto $X$. Sean $Y$, $Z$ los incentros de los triángulos $ABX$, $ACX$ respectivamente. Demostrar que, al variar $X$ sobre el arco $BC$, la circunferencia circunscrita de $XYZ$ y $\Omega$ se intersecan en un punto fijo.

Problema 12
Sea $P$ un polinomio de coeficientes enteros y sea $k \geq 2$ un entero. Supongamos que para todo entero positivo $n$ se cumple que $\sqrt[k]{P(n)}$ es entero. Probar que existe un polinomio $Q$ de coeficientes enteros tal que $P = Q^k$.