Problema 1
Un número entero positivo
[math]n se denomina
guayaquileño si la suma de los dígitos de
[math]n es igual a las suma de los dígitos de
[math]n^2. Hallar todos los posibles valores que toma la suma de los dígitos de un número guayaquileño.
Problema 2
Denotemos $A(XYZ)$ el área del triángulo $XYZ$. Se dice que un polígono $P_1P_2\ldots P_n$ convexo no regular de $n$ lados es
guayaco si existe un punto $O$ en su interior tal que:$$A(P_1OP_2)=A(P_2OP_3)=\ldots =A(P_{n-1}OP_n)=A(P_nOP_1).$$Demostrar que para todo entero $n\geq 3$ existe un polígono guayaco de $n$ lados.
Problema 3
Sea
[math]n un entero positivo. Se tiene un tablero cuadriculado de
[math]4 \times 4n dividido en casillas de
[math]1\times 1, y
[math]4n piezas como la que se muestra en la figura. Determinar de cuántas maneras se puede cubrir totalmente el tablero con estas piezas.
Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es $O$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ tales que:
- $\angle XAB=\angle YCB=90^\circ$,
- $\angle ABC=\angle BXA=\angle BYC$,
- $X$ y $C$ están en semiplanos distintos con relación a $AB$,
- $Y$ y $A$ están en semiplanos distintos con relación a $BC$.
Demostrar que $O$ es el punto medio de $XY$.
Problema 5
Sean
[math]a,
[math]b y
[math]c enteros positivos. Se definen tres sucesiones tales que:
- [math]a_1=a, [math]b_1=b, [math]c_1=c
- [math]a_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{a_nb_n}\right \rfloor, [math]b_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{b_nc_n} \right \rfloor, [math]c_{n+1}=\left \lfloor \sqrt{c_na_n} \right \rfloor para todo [math]n\geq 1
a. Demostrar que para cualquier
[math]a,
[math]b,
[math]c, existe un entero positivo
[math]N tal que
[math]a_N=b_N=c_N.
b. Hallar el menor entero positivo
[math]N tal que
[math]a_N=b_N=c_N para alguna elección de
[math]a,
[math]b,
[math]c tal que
[math]a\geq 2 y
[math]b+c=2a-1
Nota: Denotamos
[math]\lfloor x\rfloor a la
parte entera del número real
[math]x, por ejemplo
[math]\lfloor 2,8\rfloor =2,
[math]\lfloor \pi \rfloor =3,
[math]\lfloor 5\rfloor =5.
Problema 6
La sucesión infinita $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de enteros positivos se define de la siguiente manera: $a_1=1$, y para cada $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo distinto de $a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}$ tal que:
$\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n-1}+\ldots +\sqrt{a_2+\sqrt{a_1}}}}$ es un entero.
Demostrar que todos los enteros positivos aparecen en la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$