Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Cono Sur • 2017


Problema 1
Un número entero positivo [math] se denomina guayaquileño si la suma de los dígitos de [math] es igual a las suma de los dígitos de [math]. Hallar todos los posibles valores que toma la suma de los dígitos de un número guayaquileño.

Problema 2
Denotemos $A(XYZ)$ el área del triángulo $XYZ$. Se dice que un polígono $P_1P_2\ldots P_n$ convexo no regular de $n$ lados es guayaco si existe un punto $O$ en su interior tal que:$$A(P_1OP_2)=A(P_2OP_3)=\ldots =A(P_{n-1}OP_n)=A(P_nOP_1).$$Demostrar que para todo entero $n\geq 3$ existe un polígono guayaco de $n$ lados.

Problema 3
Sea [math] un entero positivo. Se tiene un tablero cuadriculado de [math] dividido en casillas de [math], y [math] piezas como la que se muestra en la figura. Determinar de cuántas maneras se puede cubrir totalmente el tablero con estas piezas.
Ttetra - Copy.png


Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es $O$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ tales que:
  • $\angle XAB=\angle YCB=90^\circ$,
  • $\angle ABC=\angle BXA=\angle BYC$,
  • $X$ y $C$ están en semiplanos distintos con relación a $AB$,
  • $Y$ y $A$ están en semiplanos distintos con relación a $BC$.
Demostrar que $O$ es el punto medio de $XY$.

Problema 5
Sean [math], [math] y [math] enteros positivos. Se definen tres sucesiones tales que:
  • [math], [math], [math]
  • [math], [math], [math] para todo [math]
a. Demostrar que para cualquier [math], [math], [math], existe un entero positivo [math] tal que [math].
b. Hallar el menor entero positivo [math] tal que [math] para alguna elección de [math], [math], [math] tal que [math] y [math]

Nota: Denotamos [math] a la parte entera del número real [math], por ejemplo [math], [math], [math].

Problema 6
La sucesión infinita $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de enteros positivos se define de la siguiente manera: $a_1=1$, y para cada $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo distinto de $a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}$ tal que:

$\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n-1}+\ldots +\sqrt{a_2+\sqrt{a_1}}}}$ es un entero.

Demostrar que todos los enteros positivos aparecen en la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$