Competencias Internacionales • Cono Sur • 2017


Problema 1
Un número entero positivo [math] se denomina guayaquileño si la suma de los dígitos de [math] es igual a las suma de los dígitos de [math]. Hallar todos los posibles valores que toma la suma de los dígitos de un número guayaquileño.

Problema 2
Denotemos [math] el área del triángulo [math]. Se dice que un polígono [math] convexo no regular de [math] lados es guayaco si existe un punto [math] en su interior tal que:
[math].
Demostrar que para todo entero [math] existe un polígono guayaco de [math] lados.

Problema 3
Sea [math] un entero positivo. Se tiene un tablero cuadriculado de [math] dividido en casillas de [math], y [math] piezas como la que se muestra en la figura. Determinar de cuántas maneras se puede cubrir totalmente el tablero con estas piezas.
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Problema 4
Sea [math] un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es [math]. Se eligen puntos [math] e [math] tales que:
[math]
[math]
[math] y [math] están en semiplanos distintos con relación a [math]
[math] y [math] están en semiplanos distintos con relación a [math]

Demostrar que [math] es el punto medio de [math].

Problema 5
Sean [math], [math] y [math] enteros positivos. Se definen tres sucesiones tales que:
  • [math], [math], [math]
  • [math], [math], [math] para todo [math]
a. Demostrar que para cualquier [math], [math], [math], existe un entero positivo [math] tal que [math].
b. Hallar el menor entero positivo [math] tal que [math] para alguna elección de [math], [math], [math] tal que [math] y [math]

Nota: Denotamos [math] a la parte entera del número real [math], por ejemplo [math], [math], [math].

Problema 6
La sucesión infinita [math] de enteros positivos se define de la siguiente manera: [math], y para cada [math], [math] es el menor entero positivo distinto de [math] tal que:
[math] es un entero.
Demostrar que todos los enteros positivos aparecen en la sucesión [math]