Competencias de Argentina • Selectivo Cono Sur • 2018


Problema 1
Los números naturales $k$ y $N$ satisfacen la siguiente condición: la multiplicación de todos los números naturales desde $N$ hasta $N+k$ es igual a $6952862280$, es decir
$$N\times (N+1)\times\cdots\times (N+k)=6952862280$$
Hallar todos los posibles valores de $k$ y $N$, sabiendo que el último dígito de $N$ es $1$.

Problema 2
Hallar todos los números enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los números del $1$ al $n$, $1$, $2$,...,$n$ se pueden dividir en tres subconjuntos no vacíos con diferentes cantidades de números tales que para toda pareja de subconjuntos, el conjunto con menos elementos tenga suma más grande que el subconjunto con más elementos.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo y sean $K$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. En los segmentos $AM$ y $BK$, se construyen triángulos equiláteros $AMN$ y $BKL$, ambos exteriores al triángulo $ABC$. Sea $F$ el punto medio del segmento $LN$. Determinar el valor del ángulo $K\hat{F}M$

Problema 4
Sea $ABCDE$ un pentágono regular con centro $M$. Se elige un punto $P$ en el interior del segmento $MD$. La circunferencia que pasa por los puntos $A$, $B$ y $P$ corta al segmento $AE$ en $A$ y en $Q$ y corta a la recta perpendicular a $CD$ que pasa por $P$ en $P$ y en $R$. Demostrar que $AR$ y $QR$ tienen la misma longitud.

Problema 5
En el pizarrón están escritos $n$ números enteros positivos ($n>1$). En cada paso se agrega al pizarrón un nuevo número que es igual a la suma de los cuadrados de todos los números ya escritos. (Por ejemplo: si inicialmente los números son $1$, $2$, $2$, entonces en el primer paso se agrega el número $1^2+2^2+2^2$.) Demostrar que el número que se agrega en el paso $100$ tiene al menos $100$ divisores primos diferentes.

Problema 6
Alex y Blas juegan a un juego. Comienza Alex. Cada uno en su turno elige un número entero entre $1$ y $100$, que no haya sido elegido por ninguno de ellos en las jugadas anteriores. Un jugador pierde si después de su turno, la suma de todos los enteros elegidos por ambos jugadores desde el comienzo del juego, no se puede escribir como la diferencia de los cuadrados de dos enteros. Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y dar dicha estrategia.