Competencias de Argentina • Selectivo de IMO • 2018


Problema 1
Determinar si existen enteros positivos distintos $x, y$ tales que el número $x+y$ es divisible por $2016$, el número $x-y$ es divisible por $2017$, y el número $x \cdot y$ es divisible por $2018$.

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sean $D$, $E$, $F$ los pies de las alturas trazadas desde $A$, $B$, $C$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sean $X$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $EF$, $Y$ el punto de intersección de las rectas $AO$ y $BC$, y $Z$ el punto medio del segmento $XY$. Demostrar que los puntos $A$, $Z$, $M$ son colineales.

Problema 3
En un tablero de $100 \times 100$ cada casilla está coloreada de blanco o de negro, todas las casillas del borde del tablero son negras. Además ningún cuadrado de $2 \times 2$ contenido en el tablero tiene sus cuatro casillas del mismo color. Demostrar que el tablero contiene un cuadrado de $2 \times 2$ coloreado como el tablero de ajedrez.

Problema 4
Se tiene un tablero de $10 \times 10$ dividido en casillas de $1 \times 1$. Un punto luminoso en un vértice de un cuadrado de $1 \times 1$ ilumina a todos los cuadrados de $1 \times 1$ a los que ese vértice pertenece. Hallar la cantidad mínima de puntos luminosos que se necesitan para que todos los cuadrados de $1 \times 1$ del tablero estén iluminados aún en el caso de que uno cualquiera de los puntos luminosos, no sabemos cuál, deje de funcionar.

Problema 5
Consideramos la sucesión $a_1, a_2, \ldots$ definida por
$a_n = \displaystyle \frac1n \left( \left\lfloor \frac n1 \right\rfloor + \left\lfloor \frac n2 \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac nn \right\rfloor \right)$
para todo entero $n \geq 1$.
a) Demostrar que $a_{n+1} > a_n$ para infinitos valores de $n$.
b) Determinar si $a_{n+1} < a_n$ para infinitos valores de $n$.
Aclaración. $\lfloor x \rfloor$ denota la parte entera del número $x$.

Problema 6
Sean $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$ todos los divisores positivos del número entero positivo $n$. Hallar todos los posibles valores de $k$ si se sabe que $n = d_2d_3 + d_2d_5 + d_3d_5$.