Competencias Internacionales • IMO • 2018


Problema 1
Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, y son tales que $AD=AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ cortan a los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demostrar que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas (o son la misma recta).

Prolema 2
Hallar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existen números reales $a_1, a_2, \ldots , a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$, tales que $a_{n+1} = a_1$ y $a_{n+2} = a_2$, y
$a_ia_{i+1} + 1 = a_{i+2}$
para $i = 1,2,\ldots,n$.

Problema 3
Un triángulo anti-Pascal es un conjunto de números arreglados en forma de triángulo equilátero tal que cada número, salvo los de la fila de abajo, es igual al valor absoluto de la diferencia de los dos que están debajo de él.

Determinar si existe un triángulo anti-Pascal de lado 2018 con todos los enteros del 1 al 1 + 2 + ... + 2018.

Problema 4
Un lugar es un punto $(x,y)$ en el plano tal que $x$, $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales que $20$.
Al comienzo, cada uno de los $400$ lugares está vacío. Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que la distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por piedras rojas es distinta de $\sqrt{5}$. En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío. (Un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado.) Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra.
Hallar el mayor $K$ tal que Ana pueda asegurarse de colocar $K$ piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Problema 5
Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N>1$ tal que para cada $n\geqslant N$ el número $$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots +\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}$$ es entero. Demostrar que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m=a_{m+1}$ para todo $m\geqslant M$.

Problema 6
Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB\cdot CD=BC\cdot DA$. El punto $X$ en el interior de $ABCD$ es tal que

$\angle XAB=\angle XCD$ y $\angle XBC=\angle XDA$.

Demostrar que $\angle BXA+\angle DXC=180°$.