Competencias Internacionales • Cuenca del Pacifico • 2018


Problema 1
Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Supongamos que $H$ cae dentro del cuadrilátero $BMNC$ y que los circuncírculos de los triángulos $BMH$ y $CNH$ son tangentes entre sí. La paralela a $BC$ por $H$ intersecta nuevamente a los circuncírculos de los triángulos $BMH$ y $CNH$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sea $F$ el punto de intersección de $MK$ y $NL$ y sea $J$ el incentro del triángulo $MHN$. Demostrar que $FJ=FA$.

Problema 2
Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones definidas por $$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+\ldots +\frac{1}{x-2018}$$ y $$g(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+\ldots +\frac{1}{x-2017}$$
Demostrar que $$|f(x)-g(x)|>2$$ para todo número real no entero $x$ tal que $0<x<2018$.

Problema 3
Un conjunto de $n$ cuadrados en el plano se llama tri-conectado si satisface las siguientes condiciones:
(i) Todos los cuadrados son congruentes.
(ii) Si dos cuadrados tienen un punto $P$ en común, entonces $P$ es un vértice de cada uno de los cuadrados.
(iii) Cada cuadrado toca exactamente otros tres cuadrados.

¿Cuántos enteros positivos $n$ con $2018\leqslant n\leqslant 3018$ cumplen que hay un conjunto tri-conectado de $n$ cuadrados?

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Desde el vértice $A$ dibujamos una semirrecta hacia el interior del triángulo de forma que toque uno de los lados del triángulo. Cuando la semirrecta toca un lado, rebota siguiendo la ley de reflexión, esto es, si llega con un ángulo dirigido $\alpha$, sale con un ángulo dirigido $180°-\alpha$. Luego de $n$ rebotes, la semirrecta vuelve al vértice $A$ sin haber pasado nunca por cualquiera de los otros dos vértices. Hallar todos los valores posibles de $n$.

Problema 5
Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para todos los números reales $s$ y $t$, si $P(s)$ y $P(t)$ son enteros, entonces $P(st)$ también es entero.