Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2003


Problema 1
Sea $A$ un subconjunto del conjunto $S=\{1,2,\ldots ,1000000\}$ con $101$ elementos exactamente. Demostrar que existen números $t_1,t_2,\ldots ,t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos

$A_j=\{x+t_j\mid x\in A\}$ para $j=1,2,\ldots ,100$

son disjuntos dos a dos.

Problema 2
Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$$ es un entero positivo.

Problema 3
Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ multiplicado por la suma de sus longitudes.
Demostrar que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Problema 4
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices están sobre una circunferencia. Sean $P$, $Q$ y $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrices de los ángulos $A\widehat BC$ y $A\widehat DC$ se cortan sobre la recta $AC$.

Problema 5
Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales tales que $x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n$.
(a) Demostrar que $$\left (\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=1}^n|x_i-x_j|\right )^2\leqslant \frac{2(n^2-1)}{3}\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=1}^n(x_i-x_j)^2$$
(b) Demostrar que se cumple la igualdad si y sólo si $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ forman una progresión aritmética.

Problema 6
Sea $p$ un número primo. Demostrar que existe un número primo $q$ tal que, para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es divisible por $q$.