Competencias de Argentina • Selectivo de Ibero • 2018


Problema 1
Un collar tiene $840$ perlas, cada una de ellas de uno de los colores negro, verde o azul. En cada paso se reemplaza simultáneamente cada perla por una nueva perla, con el color de la nueva perla determinado de la siguiente manera: Si las dos perlas vecinas de la perla original eran del mismo color, la nueva perla lleva ese color. Si las dos perlas vecinas de la perla original eran de distinto color, la nueva perla es del tercer color.
  1. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía la mitad de las perlas verdes y la otra mitad, negras?
  2. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía $700$ perlas negras y el resto verdes?
  3. ¿Es posible transformar un collar con exactamente dos perlas adyacentes negras y $838$ perlas azules en un collar de una perla verde y $839$ perlas azules?


Problema 2
En un pizarrón hay escritos $n > 3$ números enteros positivos distintos, todos menores que $(n-1)!$. Para cada pareja $a > b$ de estos números, Julián escribe en su cuaderno el cociente entero de $a$ dividido $b$ (por ejemplo, si $a=100$ y $b=7$, Julián escribe $14$, pues $100 = 14 \times 7 + 2$). Demostrar que en el cuaderno de Julián quedarán escritos por lo menos dos números iguales.

Problema 3
Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $B$ corta nuevamente a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ respectivamente. Las rectas tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ respectivamente se cortan en $E$. Sea $F$ el segundo punto de intersección de la recta $AE$ con la circunferencia $\omega$ que pasa por $A$, $O_1$ y $O_2$. Demostrar que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$.

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. En el arco $BC$ de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$ y no contiene al punto $A$ se eligen los puntos $X$, $Y$ tales que $BX=CY$. Sea $M$ el punto medio del segmento $AX$. Demostrar que $BM+CM \geq AY$.

Problema 5
Se tiene un tablero cuadrado de $n \times n$, con $n>1$, dividido en $n^2$ casillas unitarias. Algunos lados de casillas unitarias se pintan de rojo de modo que cada casilla del tablero tenga exactamente un lado rojo. Para cada $n$
$a)$ hallar la menor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero;
$b)$ hallar la mayor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero.

Problema 6
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que para todo entero positivo $m$ se verifica lo siguiente:
Si $1=d_1<d_2< ... <d_k=m$ son todos los divisores positivos de $m$, entonces
$f(d_1) f(d_2) ... f(d_k)=m$.