Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento Cono Sur • 2018


Problema 1
Sea $(a_n)_{n\in N}$ una sucesión de números reales que satisface$$0\leq a_1+\frac{1}{2}a_2+\ldots +\frac{1}{n}a_n\leq\frac{1}{n}$$para todo entero positivo $n$. Demostrar que $a_1+a_2+\ldots +a_n\leq 1$ para todo entero positivo $n$.

Problema 2
Xavier y Miguel juegan sobre $n$ puntos en una circunferencia donde todos los segmentos entre los puntos son trazados. Xavier empieza y en cada paso los jugadores se alternan coloreando un punto o un segmento en alguno de $n$ colores. Se consideran las siguientes condiciones:
  1. Existen dos puntos con el mismo color.
  2. Existe un segmento que tiene el mismo color que alguno de los puntos que lo definen.
  3. Existen dos segmentos con el mismo color que comparten un punto.
Si alguna de estas condiciones se cumple, entonces gana Miguel. Si ninguna de las condiciones se cumple y todos los puntos y segmentos están coloreados, gana Xavier. ¿Para qué valores de $n$ siempre va a ganar Miguel, sin importar cómo jueguen ambos?

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo y sea $Z$ un punto en su interior que no pertenece al perímetro de $ABC$. Sea $D$ la intersección de la recta $AZ$ con $BC$. Sea $X$ un punto en $AB$ tal que $XD$ bisecta al segmento $BZ$, análogamente sea $Y$ un punto en $AC$ tal que $YD$ bisecta al segmento $CZ$. Demostrar que $Z$ está en el interior del triángulo $AXY$.

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $A$. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $H$ y $M$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$. Sobre los catetos y en forma exterior al triángulo se construyen los triángulos equiláteros $BAP$ y $ACQ$. Si $N$ es el punto de intersección de las rectas $AM$ y $PQ$, demostrar que los ángulos $\angle{NHP}$ y $\angle{AHQ}$ son iguales.

Problema 5
Hallar todas las parejas $(n,q)$ donde $n$ es un entero positivo, $q$ es un racional no entero y $n^q-q$ es un entero.

Problema 6
Sea $n\geq 3$. Dado el polinomio $p(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_1x+a_0$ que tiene raíces $x_1$, $x_2$,$...$,$x_n$. Demostrar que para todo real $x$ mayor que las raíces del polinomio se cumple que
$$\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\geq\frac{a_{n-3}}{x}+\frac{a_{n-4}}{x^2}+...+\frac{a_0}{x^{n-2}}$$

Problema 7
Danielle juega a escribir los números del $1$ al $10000$ en las casillas de un tablero de $100\times 100$ de modo que cada número aparece exactamente una vez y que $6$ casillas consecutivas horizontalmente siempre están en progresión aritmética con diferencia $d$.
a) Hallar todos los posibles valores de $d$.
b) Hallar de cuántas maneras Danielle puede llenar el tablero.

Problema 8
Se tiene el triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle ABC=90°$ y se escogen puntos $D$ y $E$ en los segmentos $AB$ y $BC$ tales que $BD=BE$. Sea $G$ el punto tal que $DG\perp AB$ y $EG\perp BC$ y sea $F$ la intersección de las rectas $AE$ y $CD$. Si $M$ es el punto medio de $AC$, demostrar que $FG$ y $BM$ se cortan en un punto de la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Problema 10
Danielle practica billar en una mesa circular. Escoge dos puntos $P_0$ y $P_1$ sobre el perímetro de la mesa, coloca la pelota en el punto $P_0$ y la golpea hacia el punto $P_1$. Al realizar esto, se da cuenta que la pelota rebota $n$ veces en puntos distintos $P_1,P_2,\ldots ,P_n$ donde $P_n=P_0$. Demostrar que los puntos $P_0,P_1,\ldots ,P_{n-1}$ son los vértices de un polígono regular.

Problema 11
Sea $d$ un entero positivo. La sucesión $\left (a_n\right )_{n\geq 1}$ de enteros positivos se define recursivamente de la siguiente manera: $a_1=1$ y para $n\geq 1$, $a_{n+1}$ se obtiene sumándole $d$ al mayor múltiplo de $n$ que es menor o igual que $a_n$. Es decir, $a_{n+1}=n\left \lfloor\frac{a_n}{n}\right \rfloor+d$, donde $\lfloor x\rfloor$ es la parte entera de $x$. Por ejemplo, si $d=10$ se obtiene la sucesión $1,~11,~20,~28,~38,~45,~52,~59,~66,~\ldots$
Demostrar que a partir de algún término la sucesión $\left (a_n\right )$ es una progresión aritmética.

Problema 12
Se quieren pintar de negro algunas aristas de un dodecaedro regular de manera tal que cada cara tenga pintada una cantidad par de aristas. Determinar de cuántas maneras se puede realizar la coloración. (Un dodecaedro regular tiene $12$ caras pentagonales y en cada vértice concurren tres aristas. Los vértices del dodecaedro son todos distintos para el propósito de las coloraciones.)

Problema 13
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB\geq CD$. Sobre el segmento $AB$ se escogen puntos $E$ y $F$ y sobre el segmento $CD$ se escogen puntos $G$ y $H$ tales que $AE=BF=CG=DH<\frac{AB}{2}$.
Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos medios de $EG$, $FH$ y $CD$ respectivamente. Se sabe que $PR$ es paralelo a $AD$ y $QR$ es paralelo a $BC$.
a) Demostrar que $ABCD$ es un trapecio.
b) Sea $d$ la diferencia de las longitudes de los lados paralelos. Demostrar que $2\times PQ\leq d$.

Problema 14
Sea $P$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$. Demostrar que si los simétricos de $P$ respecto a los lados del triángulo pertenecen a la circunferencia circunsctipta del triángulo, entonces $P$ es el ortocentro de $ABC$.

Problema 15
Sea $A$ una colección finita de enteros positivos (puede haber números repetidos). Dado un entero positivo $k$ decimos que $A$ es divisible por $k$ si es posible dividir a todos los elementos de $A$ en dos grupos $B$ y $C$ tales que $\frac{S(B)}{S(C)}=k$ donde $S(X)$ es la suma de todos los elementos del grupo $X$.
Para cada entero positivo $n$, demostrar que existe una colección $A$ de $n+1$ enteros positivos que es divisible por cada uno de los números $1$, $2$, ..., $n$. Más aún, entre todas estas colecciones $A$ de $n+1$ enteros positivos, hallar una colección para la cual $S(A)$ sea mínima.

Problema 16
Se define una sucesión creciente de reales positivos $x_0,~x_1,~x_2,~\ldots$ que cumple $\left \lfloor x_{n+1}^2-2x_{n+1}x_n+1\right \rfloor=0$ para todo entero $n\geq 0$.
  1. Si $x_0=1$, hallar todos los valores enteros que puede tomar $x_n$.
  2. Sea $n\geq 2$ un entero. Si $x_0=n$, demostrar que existe $k\in N$ tal que $x_k$ pueda ser entero.


Problema 18
A un tablero se lo denomina guayaco si puede ser cubierto totalmente con fichas como se muestra en la figura, sin superposiciones ni fichas que sobresalgan del tablero.
Determinar todos los valores de $n$ para los cuales el tablero de dimensión $n\times (n+1)$ es guayaco.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \times & \times & \times & \times & \times \\ \hline \times & & & & \\ \hline \times & & \times & \times & \\ \hline \times & & & \times & \\ \hline \times & \times & \times & \times & \\ \hline \end{array}

Problema 18
Sea $ABC$ un triángulo no degenerado e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. $D$ es el punto medio del segmento $CI$. Si se sabe que $\frac{AD}{DB}=\frac{BC}{CA}$, demostrar que $AC=BC$.

Problema 19
Fernando y Danielle juegan de la siguiente manera: Primero, Fernando elige enteros positivos $m$ y $n$ no divisibles por $2017$ y luego Danielle elige un entero positivo $a$. Luego ellos escriben en la pizarra los $2017$ números$$a \frac{a}{m} \frac{a}{m^2}\cdots \frac{a}{m^{2016}}$$Asignan el signo $+$ al primer número de la pizarra y después asignan $+$ o $-$ a cada número en turnos alternados empezando por Fernando, en cada turno el jugador elige un número que aún no tenga signo. Finalmente efectúan la suma algebraica de la expresión que se denomina $S$. Fernando gana si $S-n$ no es divisible por $2017$ y Danielle gana en caso contrario, Demostrar que Danielle tiene una estrategia ganadora.

Problema 20
a) Determinar el conjunto$$A=\left \{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3:~a+b+c=3,~\left (6a+b^2+c^2\right )\left (6b+c^2+a^2\right )\left (6c+a^2+b^2\right )\neq 0\right \}$$
b) Demostrar que para $(a,b,c)\in A$ se satisface la siguiente desigualdad:$$\frac{a}{6a+b^2+c^2}+\frac{b}{6b+c^2+a^2}+\frac{c}{6c+a^2+b^2}\leq \frac{3}{8}$$

Problema 21
a) Se define la secuencia $a_{-1}=1$, $a_0=0$ y $a_k=\left (\frac{2}{k}-1\right )a_{k-1}+\left (\frac{4}{k}-1\right )a_{k-2}$ para todo $k\geq 1$. Calcular $a_{2017}$.

b) Sea la secuencia $b_{-1}=1$, $b_0=0$ y $b_k=\left (\frac{3}{k}-1\right )b_{k-1}+\left (\frac{6}{k}-1\right )b_{k-2}$ para todo $k\geq 1$. Calcular $b_{2017}$.

Problema 22
Sean $m$, $n$ enteros positivos. El centro de Guayaquil está bien planificado y tiene una forma de cuadrícula de lados $m$ (sentido este-oeste) y $n$ (sentido norte-sur), dividida en cuadrados de lado $1$ y sus lados son paralelos a las direcciones cardinales. Danielle vive en el vértice noroeste y Rebeca vive en el vértice sureste. Danielle decide ir a visitar a Rebeca y Rebeca decide ir a visitar a Danielle y ambas salen de su casa al mismo tiempo. Ambas manejan por las calles con rapidez constante y buscan llegar a su destino recorriendo el menor camino. Si se encuentran en el camino, es decir en el mismo punto, ellas se detienen.
a) Hallar en cuántos puntos es posible que se encuentren.
b) ¿De cuántas maneras es posible que ellas se encuentren en el camino?

Problema 23
Dos circunferencias distintas $\omega_1$ y $\omega_2$ tales que ninguna contiene a la otra se cortan en $A$ y $B$. Sea $C$ un punto en $\omega_2$ ($C\neq A$ y $C\neq B$). Las rectas $CA$ y $CB$ cortan otra vez a $\omega_1$ en $F$ y $G$ respectivamente. Las tangentes a $\omega_1$ por $F$ y $G$ se cortan en $D$. Las rectas $AG$ y $BF$ se cortan en $E$. Probar que $C$, $D$ y $E$ son colineales.

Problema 24
Llamamos a un tablero de $1\times k$ guayaco sí cumple las siguientes condiciones:
  1. Cada una de las casillas del tablero es pintada con exactamente uno de $k$ colores disponibles.
  2. Si el $\text{dcm}(i,k)>1$, entonces la $i$-ésima casilla comparte color con la $(i-1)$-ésima casilla.
  3. Si el $\text{dcm}(i,k)=1$, entonces la $i$-ésima casilla comparte color con la $(k-i)$-ésima casilla.
Sebastián escoge un entero positivo $a$ y calcula la cantidad de tableros de $1\times a$ que son guayacos. Luego de esto, David escoge un entero positivo $b$ y calcula la cantidad de tableros de $1\times b$ que son guayacos. David gana si ambos calcularon la misma cantidad de tableros, caso contrario Sebastián gana. Hallar todas las parejas $(a,b)$ para las cuales David gana.

Problema 25
Determinar los enteros $x$ e $y$ para los que $\sqrt{4^x+5^y}$ es racional.

Problema 26
Para cada pareja de enteros positivos $m$ y $n$ definimos $f_m(n)$ de la siguiente manera:
$f_m(n)=\text{dcm}(n,d_1)+\text{dcm}(n,d_2)+\cdots + \text{dcm}(n,d_k)$
donde $1=d_1<d_2<\ldots <d_k=m$ son todos los divisores positivos de $m$. Por ejemplo,
$f_4(6)=\text{dcm}(6,1)+\text{dcm}(6,2)+\text{dcm}(6,4)=5$.
  1. Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $f_{2017}(n)=f_n(2017)$.
  2. Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $f_6(n)=f_n(6)$


Problema 27
Dos triángulos rectángulos isósceles de catetos iguales a $1$ se unen para formar o bien un triángulo isósceles de catetos iguales a $\sqrt{2}$, llamada ficha $t$, o un paralelogramo, llamado ficha $p$, de lados $1$ y $\sqrt{2}$. Hallar todos los enteros $m$ y $n$, $n\geq 2$, tales que un rectángulo de $m×n$ se puede cubrir fichas $t$ y $p$.

Problema 28
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ la circunferencía circunscrita a al triángulo $ABC$ y $D$ un punto sobre el segmento $BC$. Sea $M$ el punto medio de $AD$, $E$ el pie de la perpendicular de $D$ a $AB$ y $F$ la intersección de la recta $DE$ con el arco menor $BC$ de $\Gamma$. Si se sabe que $\angle DAE=\angle AFE$, demostrar que las rectas $EM$ y $CF$ y la recta tangente por $A$ a $\Gamma$ concurren.

Problema 29
Dados $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales, demostrar que existe un número real $y$ tal que$$\left \{y-x_1\right \}+\left \{y-x_2\right \}+\cdots +\left \{y-x_n\right \}\leq \frac{n-1}{2}$$

Problema 30
Sea $n>1$ un entero positivo. Definimos como $\varphi (n)$ la cantidad de enteros positivos menores que $n$ y coprimos con $n$, $\tau (n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$, $\sigma (n)$ como la suma de los divisores positivos de $n$. Encontrar todos los valores posibles de $n$ tal que$$\varphi (n)\cdot \tau (n)=\sigma (n)$$

Problema 31
Determinar todos los enteros $x$ tales que $2^x+x^2+25$ es el cubo de un número primo.

Problema 32
Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo con lados no paralelos y tangentes a una circunferencia $\Gamma$ en los punto medios $P$, $Q$, $R$ de los lados $AB$, $CD$, $EF$ respectivamente. $\Gamma$ es tangente a $BC$, $DE$ y $FA$ en los puntos $X$, $Y$, $Z$ respectivamente. La recta $AB$ corta a las recta $EF$ y $CD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Las rectas $MZ$ y $NX$ se cortan en el punto $K$. Sea $r$ la recta que une al centro de $\Gamma$ y a $K$. Demostrar que las siete rectas $AD$, $PY$, $BE$, $RX$, $r$, $CF$ y $QZ$ tienen un punto en común.

Problema 33
Los lados de un triángulo equilátero están divididos en $n$ partes iguales mediante $n-1$ puntos en cada lado. Por estos puntos se trazan paralelas a los lados del triángulo. Así el triángulo inicial queda dividido en $n^2$ triángulo equiláteros iguales. En cada vértice de estos triángulos hay un escarabajo. Los escarabajos comienzan a moverse simultáneamente, con velocidades iguales, a lo largo de los lados de los triángulos pequeños. Cuando lleguen a un vértice, los escarabajos cambian de dirección $60°$ o $120°$.
  1. Demostrar que si $n\geq 7$ los escarabajos se pueden mover indefinidamente sin que nunca se encuentren 2 escarabajos en el mismo vértice.
  2. Determinar todos los valores de $n\geq 1$ para los que los escarabajos puedan moverse a lo largo de los lados de los triángulos pequeños sin encontrarse jamás en un vértice.


Problema 34
Determinar el menor entero positivo $n$ tal que para toda coloración de los elementos del conjunto $\{2, 3,...,n\}$ con dos colores, la ecuación $x+y=z$ tiene una solución monocromática con $x\neq y$. (Decimos que la ecuación $x+y=z$ es monocromática si existen $a$, $b$, $c$ distintos, del mismo color, tales que $a+b=c$.)

Problema 35
Ana y Beto juegan un juego en una grilla rectangular de $2×n$ ($n\geq 2$) cuyos lados de longitud $2$ se han pegado formando un cilindro. Alternando movidas cada jugador recorta un casillero de la grilla. Un jugador pierde si su movida provoca que el cilindro pierda conexión circular (dos casillas que sólo se tocan en una esquina se consideran desconectadas). Supongamos que Ana comienza el juego. ¿Cual de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Problema 36
Dado un triángulo acutángulo $ABC$ construimos triángulos $ABD$ y $ACE$ exteriores tales que $A\widehat{D}B=A\widehat{E}C=90°$ y $B\widehat{A}D=C\widehat{A}E$. Sean $A_1\in BC$, $B_1\in AC$, $C_1\in AB$ los pies de las alturas del triángulo $ABC$, y sean $K$ y $L$ los puntos medios de $BC_1$ y $CB_1$ respectivamente. Demostar que los circuncentros de los triangulos $AKL$, $A_1B_1C_1$ y $DEA_1$ son colineales.

Problema 37
Sea $n$ un entero positivo, para cada número $1,~2,~\ldots ,~n$ calculamos la diferencia entre la cantidad de divisores positivos impares y la cantidad de divisores positivos pares. Demostrar que la suma de estas diferencias es mayor o igual que $0$ y menor o igual que $n$.

Problema 38
Sean $a,b,c,d$ números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d=3$. Demostrar que$$\dfrac{a}{1+2b^3}+\dfrac{b}{1+2c^3}+\dfrac{c}{1+2d^3}+\dfrac{d}{1+2a^3}\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$$¿Cuándo vale la igualdad?

Problema 39
Demostrar que si $a,b,c,d\in [1,2]$ entonces$$\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{c+d}{d+a}\leq 4\dfrac{a+c}{b+d}$$¿Cuándo vale la igualdad?

Problema 40
La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. En los segmentos $EF$, $FD$, $DE$ consideramos los puntos $M$, $N$, $P$ respectivamente tales que $BM+MC$, $CN+NA$, $AP+PB$ son mínimos.
  1. Probar que las rectas $AM$, $BN$, $CP$ son concurrentes.
  2. Probar que $DM$, $EN$, $FP$ son alturas del triángulo $DEF$.


Problema 41
Si $a,b,c\in [-1,1]$ son tales que $a+b+c+abc=0$, demostrar que$$a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)$$¿Cuándo vale la igualdad?

Problema 42
Sean $n$ y $k$ dos enteros positivos tales que $1\leq n\leq k$. Demostrar que si $d^k+k$ es un número primo para cada divisor positivo $d$ de $n$ entonces $n+k$ es un número primo.

Problema 43
Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  1. Para todo entero $x$ coprimo con $n$ vale la congruencia $x^6\equiv 1\pmod n$.
  2. $n$ divide a $504$


Problema 44
Sea $I$ el incentro del triángulo escaleno $ABC$, con $AB<AC$, y sea $I'$ el simetrico de $I$ con respecto a $BC$. La bisecriz $AI$ corta al lado $BC$ en $D$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E$. La recta $EI'$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $F$. Demostrar que $\frac{AI}{IE}=\frac{ID}{DE}$ y $IA=IF$.

Problema 45
Consideramos un tablero de $m\times n$ con $m,n\geq 3$ dividido en casillas unitarias. Inicialmente todas las casillas son blancas. ¿Cuál es el mínimo número de casillas que se deben pintar de rojo para que cada cuadrado de $3\times 3$ contenga al menos dos casillas rojas?