Competencias Internacionales • Cono Sur • 2018


Problema 1
En un cuadrilátero convexo $ABCD$ se conoce que:
$\bullet$ $R$ y $S$ son puntos en el interior de los segmentos $CD$ y $AB$ respectivamente con $AD=CR$ y $BC=AS$.
$\bullet$ $P$ y $Q$ son los puntos medios de $DR$ y $SB$ respectivamente.
$\bullet$ $M$ es el punto medio de $AC$.
Si se sabe que $\angle MPC + \angle MQA = 90^{\circ}$, demostrar que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

Problema 2
Demostrar que todo entero positivo puede ser representado como suma de potencias de $3$, $4$ y $7$ de modo que no aparezcan en la representación dos potencias con la misma base y el mismo exponente.

Por ejemplo: $2=7^0+7^0$ y $22=3^2+3^2+4^1$ no son representaciones válidas, pero $2=3^0+7^0$ y $22=3^2+3^0+4^1+4^0+7^1$ si son válidas.

Problema 3
Consideramos el producto $P_n=P=1! \cdot 2!\cdot 3! \cdot \ldots \cdot n!$ donde $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ para todo $n$ entero positivo.

a) Encontrar todos los enteros positivos $m$ para los cuales $\frac{P_{2020}}{m!}$ es un cuadrado perfecto.
b) Demostrar que existen infinitos valores de $n$ para los cuales $\frac{P_n}{m!}$ es un cuadrado perfecto para por lo menos dos valores enteros positivos de $m$.

Problema 4
Para cada entero $n \geq 4$, se consideran $m$ subconjuntos $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$, $A_m$ de $ \{1, 2, 3, \ldots, n\}\ $ tales que:
$A_1$ tiene un elemento
$A_2$ tiene dos elementos
$\vdots$
$A_m$ tiene $m$ elementos
y ninguno de estos subconjuntos está incluido en otro.
Encontrar el mayor valor posible de $m$.

Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle BAC = 60^{\circ}$ de incentro $I$ y circuncentro $O$. Sea $O'$ el punto diametralmente opuesto a $O$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$. Demostrar que
$$IO' = BI + IC.$$

Problema 6
Decimos que la sucesión $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ de enteros positivos es alagoana si para todo $n$ entero positivo se verifican simultáneamente las dos condiciones siguientes:
$\bullet a_{n!}=a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$
$\bullet a_n$ es la $n$-ésima potencia de un entero positivo.
Determinar todas las sucesiones que son alagoanas.
(Observar que $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Por ejemplo, $4!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Así, nuestra sucesión satisface, por ejemplo, $a_{24}=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4$.)