Competencias de Argentina • Selectivo Cono Sur • 2019


Problema 1
Alex hace las $365$ divisiones de $365$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $365$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $365$ números de la lista. Luego Blas hace las $366$ divisiones de $366$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $366$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $366$ números de la lista. Determinar cuál de los dos obtuvo una suma mayor y cuánta es la diferencia entre las dos sumas.

Problema 2
Matías construye una lista de números enteros con la siguiente propiedad: para cada tres números de la lista hay dos de ellos que sumados dan por resultado una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Determinar la mayor cantidad de números que puede tener la lista de Matías.

Problema 3
Sean $ABC$ un triángulo e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. Sea $\Gamma$ la circunferencia con centro $I$ que es tangente a los tres lados del triángulo y sean $D$ en $BC$ y $E$ en $AC$ los puntos de tangencia de $\Gamma$ con $BC$ y $AC$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AI$ y $DE$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que $M$, $N$ y $P$ pertenecen a una recta.

Problema 4
Un tablero está formado por tres cuadrados de $n\times n$ divididos en casillas de $1\times 1$ que se pegan a lo largo de un segmento de la misma longitud que el lado de cada casilla (ver figura).
Hallar todos los $n\geqslant 1$ para los que el tablero se puede cubrir sin huecos ni superposiciones y sin sobresalir del tablero utilizando piezas de $3\times 1$ o $1\times 3$ con sus casillas de igual tamaño que las del tablero.

Selectivo Cono 2019 P4 Figura.jpg


Problema 5
Sea $ABCD$ un paralelogramo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ con el ángulo en $A$ agudo.
Consideramos el punto $E$ en el interior del paralelogramo tal que $AE=DE$ y $\angle ABE=90°$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Determinar la medida del ángulo $\angle DME$.

Problema 6
Ana y Beto juegan, por turnos, al siguiente juego. Inicialmente hay una pila con $n$ piedras. Cada jugador, en su turno, debe retirar un número de piedras mayor que $1$, que sea divisor del número total de piedras en la pila en el momento que le toca el turno, pero debe dejar por lo menos una piedra en la pila. El primer jugador que no puede realizar su jugada, pierde el juego. Ana juega en el primer turno. Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que Ana puede desarrollar una estrategia que le asegure la victoria.