Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Selectivo de IMO • 2019


Problema 1
Sea $n\geq 3$ un entero. En una hoja de papel se marcan el centro y los $n$ vértices de un polígono de $n$ lados. Ana y Beto juegan del siguiente modo: cada uno en su turno elige un vértice y traza el segmento que lo une con uno de sus vértices vecinos o con el centro del polígono, con la condición que ese segmento no se haya trazado en jugadas anteriores. Gana el que logra que luego de su jugada sea posible viajar de cualquier punto marcado a cualquier otro punto marcado recorriendo exclusivamente segmentos trazados a lo largo del juego. Ana juega en primer lugar.
Para cada entero $n\geq 3$, determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora y dar dicha estrategia.
Nota. Dos vértices son vecinos si el segmento que los une es un lado del polígono.

Problema 2
Inicialmente en el pizarrón están escritos los enteros desde $1$ hasta $100$ inclusive. La operación permitida es elegir dos números del pizarrón, $a$ y $b$, escribir en el pizarrón el máximo común divisor de $a^2b^2+3$ y $a^2+b^2+2$, y borrar $a$ y $b$. Se realizan operaciones permitidas hasta que en el pizarrón queda un solo número. Demostrar que este número no puede ser un cuadrado perfecto.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con $A\neq 90^{\circ}$. Los puntos $E$ en $AC$ y $F$ en $AB$ son tales que $BE$ es perpendicular a $AC$ y $CF$ es perpendicular a $AB$. La bisectriz de $\hat{A}$ corta a $EF$ en $M$ y a $BC$ en $N$. Se trazan las perpendiculares a $EF$ por $M$ y a $BC$ por $N$, que se cortan en $P$. Demostrar que $P$ pertenece a la mediana trazada desde $A$.

Problema 4
Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un entero positivo $k$ tal que para todo divisor positivo $d$ de $n$, el número $d-k$ también es un divisor (no necesariamente positivo) de $n$.

Problema 5
Sean $\mathbb N$ el conjunto de los números naturales y $f : \mathbb N \to \mathbb N$ una función tal que
i) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos $m,n$ en $\mathbb N$;
ii) $m+n$ divide a $f(m)+f(n)$ para todos $m,n$ en $\mathbb N$.
Demostrar que existe un número natural impar $k$ tal que $f(n)=n^k$ para todo $n$ en $\mathbb N$.

Problema 6
Sea $k$ un entero positivo. El tablero es un plano infinito dividido en casillas de $1 \times 1$ mediante rectas paralelas a los ejes coordenados. En el tablero hay marcadas $N$ casillas. Denominamos cruz de una casilla $A$ al conjunto de todas las casillas que pertenecen a la misma fila o a la misma columna que $A$. En cada turno está permitido marcar una casilla que no esté marcada si su cruz ya contiene al menos $k$ casillas marcadas. Resulta que es posible marcar cada casilla del tablero infinito mediante una sucesión de estos turnos. Determinar el menor valor de $N$ para el que esto es posible.