Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2018


Problema 1
Para cado entero $n \geq 2$, hallar todas las soluciones enteras del sistema de ecuaciones: ($S=\sum x_i$)

$$x_i = ( S - x_i)^{2018}, 1 \leq i \leq n$$

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90$ y $AB=AC$. Sea $\Gamma$ su circuncírculo y $M$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el arco $BAC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $ADM$ con las rectas $BD$ y $CD$, respectivamente.

Probar que $BE = CF$.

Problema 3
Se da un conjunto de $n$ rectas en el plano tal que no hay dos paralelas, no hay tres concurrentes y no hay dos perpendiculares.

Se escoge una recta, una dirección de esta recta y un punto $P$ en esta recta. Esta recta es el eje de x, la dirección escogida es hacia dónde van los positivos y $P$ es el origen. El punto $P$ se mueve sobre las rectas, pintándolas de azul. El punto $P$ se mueve tal que su coordenada de x es siempre creciente. Cuando llega a la intersección de dos rectas, cambia de la que estaba, a la otra, siempre en la dirección que garantiza que su coordenada de x sea siempre creciente.

Una tal selección de estos tres parametros es buena si eventualmente, todas las rectas tienen algún segmento azul.

Demostrar que para toda colección de $n$ rectas, se pueden escoger los tres parámetros tal que sean buenos.

Problema 4
Decimos que un conjunto $X$ es ibérico si es subconjunto de $ \{ 2, 3, \ldots , 2018 \}$ y si para todo $a,b \in X$, mcd$(a,b) \in X$. Decimos que un conjunto es olímpico si no es subconjunto de algún conjunto ibérico.

Hallar todos los conjuntos olímpicos ibéricos que contienen el número $33$.

Problema 5
Decimos que una permutación $a_1, a_2, \ldots ,a_n$ es guadiana si la sucesión $b_1, b_2, \ldots ,b_n$ definida por

$$b_i = \min_{1 \leq k \leq i} a_k + \max_{1 \leq k \leq i} a_k$$

no tiene dos términos consecutivos iguales.

Hallar la cantidad de permutaciones guadianas de $n$ términos.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB>BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ intersecan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $AC$ y $AB$, respectivamente, tal que $BA = BP$ y $CA=CQ$. $EP$ interseca a $DQ$ en $K$.

Si $M$ es el punto medio de $BC$, probar que $\angle DKA = \angle EKM$.