Listas de problemas • OMA Foros Open • 2019


Problema 1
En un famoso circo, el mago Beto elige al azar un voluntario del público para hacer un truco de magia. Le pide a esta persona que realice tres pasos: primero, le pide que piense dos enteros positivos y que los sume. Segundo, le pide que eleve esa suma al cuadrado. Y tercero, le pide que a ese último resultado le sume alguno de los dos enteros positivos que había pensado inicialmente. Terminado este proceso, la persona le dice al mago el resultado obtenido.

(a) Determinar si es posible que la persona diga $100000$

(b) Determinar si es posible que la persona diga $2019$

En cada caso: si es posible, encontrar los dos números que debe decir el mago para sorprender al público adivinando; y si no es posible, explicar por qué.

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en el lado $AB$, $Q$ en el lado $AC$ y tal que $P\hat{H}B = C\hat{H}Q$. Finalmente, sea $D$ la intersección entre el segmento $BC$ y la bisectriz del ángulo $B\hat AC$. Demostrar que $DP = DQ$.

Aclaración: El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.

Problema 3
En el pizarrón hay escritos $2019$ números $1$, uno al lado del otro separados por un espacio de la siguiente forma:
$$\underbrace{1\;\;1\;\;1\;\;1\;\;...\;\;1}_{2019}$$
Edu quiere poner entre cada par de unos consecutivos un signo $+,-,\times,\div$. Como no se decidía cuál de todas las combinaciones le gustaba más, probó todas las posibilidades, y para cada una calculó el resultado de hacer la cuenta del pizarrón. Luego sumó todos estos resultados y obtuvo un número $N$. Hallar el valor de $N$.

Problema 4
Hallar todos los enteros $x,y,z$ tales que $$x^3 + 2y^3 = 4z^3.$$

Problema 5
Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el mayor cubo perfecto menor o igual a $n$. Por ejemplo, $f(10)=8$ y $f(1)=1$. Sea $a$ un entero positivo. Definimos la sucesión $a_0,a_1, \ldots$ por $a_0=a$ y $a_{n+1}=3a_n-2f(a_n)$.
Hallar todos los valores de $a$ para los que esta sucesión está acotada.

Aclaración: Una sucesión $a_0,a_1, \ldots$ se dice acotada si existe una constante $M$ tal que $a_n<M$ para todo $n$.

Problema 6
Sea $q$ un entero positivo. En una heladería en la que se ofrecen $q^2+q+1$ gustos de helado distintos, un grupo de exolímpicos compró un cucurucho con $q+ 1$ bochas de distintos sabores cada uno, de manera que para cualquier par de gustos distintos haya exactamente una persona que los haya elegido a ambos. Demostrar que cualesquiera dos exolímpicos eligieron exactamente un gusto de helado en común.

Problema 7
Para cada entero positivo $n$ sean $\sigma (n)$ la suma de los divisores positivos de $n$ y $\varphi (n)$ la cantidad de números menores o iguales a $n$ y coprimos con $n$. Por ejemplo $\sigma (6)=1+2+3+6=12$ y $\varphi(6)=2$, al ser $1$ y $5$ los únicos números coprimos con $6$ menores o iguales a $6$.
Demostrar que $$\frac{1}{\sigma (n)}+\frac{1}{\varphi (n)}\geq \frac{2}{n}$$

Problema 8
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $O$ su circuncentro. Una circunferencia $\omega$ por $A$ y $O$ vuelve a cortar a $AB$ en $D$, a $AC$ en $E$ y al circuncírculo de $ABC$ en $F$. Demostrar que el simétrico de $F$ respecto de $DE$ pertenece a la recta $BC$.

Problema 9
En cada casilla de un tablero de $n\times n$ se escribe un número de forma tal que no haya dos filas exactamente idénticas. Probar que se puede sacar una columna de forma que en el nuevo tablero no haya dos filas exactamente idénticas.

Aclaración: Dos filas son exactamente idénticas si tienen en cada posición el mismo número.

Problema 10
Juan Carlos escribe $2019$ números reales no negativos, uno en cada vértice de un polígono regular de $2019$ lados, de modo que la suma de estos números es $\frac{2019}{2}$. Luego, en cada uno de los $2019$ lados del polígono, Juan Carlos escribe la diferencia positiva de los dos números que se encuentran en los vértices que dicho lado une.

Sea $P$ el producto de los $2019$ números escritos en los lados del polígono. Demostrar que
$$P \leq \frac{3 \sqrt{3}}{16}$$

Problema 11
Sea $C$ un conjunto infinito de enteros positivos donde todo elemento es divisible por al menos un primo mayor a $10^{100}$, pruebe que existe un subconjunto infinito $S$ de $C$ tal que cualquier suma finita de elementos distintos de $S$ tenga al menos un factor primo mayor a $10^{100}$.

Problema 12
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $\ell$ la recta que pasa por su ortocentro y su circuncentro. Los pies de las perpendiculares a $\ell$ por $B$ y $C$ son $B_1$ y $C_1$ respectivamente. Las semirrectas $AB_1$ y $AC_1$ cortan a la recta simétrica a $\ell$ respecto de $BC$ en $B_2$ y $C_2$ respectivamente. Supongamos que las rectas $BB_2$ y $CC_2$ se cortan en un punto $P$ en el interior de $ABC$.

Demostrar que existe un punto $Q$ en $\ell$ tal que $A\hat{B}P= C\hat{B}Q$ y $A\hat{C}P= B\hat{C}Q$.